Riemannscher Abbildungssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es zumindest eine injektive holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow U{\left(0,1\right)}$. Wir betrachten von nun an direkt ${}U\subseteq U{\left(0,1\right)}$, durch einen Automorphismus der Kreisscheibe (siehe Aufgabe) können wir zusätzlich ${}0\in U$ annehmen. Wir betrachten die Funktionenmenge

$T={\left\{f:U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}{\text{ injektiv und holomorph}}\mid f(0)=0,\,\vert {f'(0)}\vert \geq 1\right\}}\,$

und zeigen zunächst, dass ${}T$ abgeschlossen in der Topologie der kompakten Konvergenz ist. Dazu sei ${}f_{n}$ eine in ${}C(U,{\mathbb {C} })$ kompakt konvergente Folge in ${}T$ mit der Grenzfunktion ${}f$. Aufgrund von Fakt liegt Konvergenz in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ vor. Die Grenzfunktion ist injektiv oder konstant nach Fakt. Nach Fakt konvergieren auch die Ableitungen ${}f_{n}'$ gegen ${}f'$ und somit ist insbesondere

${}\vert {f'(0)}\vert \geq 1\,.$

Dies schließt aus, dass die Grenzfunktion konstant ist, und sichert die Injektivität. Das Bild der Grenzfunktion liegt aufgrund der Konvergenz in der abgeschlossenen Kreisscheibe, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch in der offenen Kreisscheibe. Die Funktionenmenge ${}T$ ist unmittelbar beschränkt. Der Satz von Montel ergibt mit Fakt und Fakt, dass ${}T$ kompakt ist.

Die Abbildung

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,f\longmapsto f',$

ist nach Fakt stetig in der Topologie der kompakten Konvergenz und daher ist auch die Abbildung

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f'(0)}\vert ,$

stetig. Nach Fakt ist die Betragsmenge ${}{\left\{\vert {f'(0)}\vert \mid f\in T\right\}}$ ebenfalls kompakt und daher nach Fakt abgeschlossen und beschränkt und enthält nach Fakt ihr Maximum. Es sei ${}f\in T$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass ${}\vert {f'(0)}\vert$ dieses Maximum ist. Mit Fakt folgt, dass ${}f$ surjektiv ist.

Zur bewiesenen Aussage