Satz über Umkehrabbildung/R/Textabschnitt

Der Satz über die (lokale) Umkehrabbildung gehört zu den wichtigsten Sätzen der mehrdimensionalen Analysis. Er besagt, dass eine stetig differenzierbare Abbildung $\phi$ zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen, für die das totale Differential in einem Punkt $P$ bijektiv ist (was voraussetzt, dass die Dimension des Definitionsraums mit der Dimension des Zielraums übereinstimmt), die Abbildung selbst auf geeigneten kleinen offenen Umgebungen von $P$ und von $\phi (P)$ eine Bijektion ist. D.h. die Abbildung verhält sich lokal so wie das totale Differential.

Wir brauchen einige Vorbereitungen. Der Beweis des folgenden Lemmas ist schon eine gute Einstimmung für den Beweis des folgenden Hauptsatzes.

Lemma

Es seien $V_1$ und $V_2$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $U_1\subseteq V_1$ und $U_2\subseteq V_2$ offene Teilmengen und sei

$\phi :U_1⟶U_2\subseteq V_2$

eine bijektive differenzierbare Abbildung. Sei  $P\in U_1$.  Das totale Differential

${\left(D\phi \right)}_P$

sei bijektiv und die Umkehrabbildung

$\psi :U_2⟶U_1$

sei stetig in  $Q=\phi (P)$. 

Dann ist die Umkehrabbildung differenzierbar in $Q$ und für ihre Ableitung gilt

${\left(D\psi \right)}_Q=({\left(D\phi \right)}_P{)}^{-1}.$

Beweis

Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass  $P=0$  und  $\phi (P)=0$  ist. Es sei  $D={\left(D\phi \right)}_P$  die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung $D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung

$U_1\stackrel{\phi }{⟶}{V}_2\stackrel{D^{-1}}{⟶}{V}_1.$

Diese ist wieder differenzierbar, und das totale Differential davon ist  $D^{-1}\circ D=\mathrm{Id}$  nach der Kettenregel. Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für $\phi$, da eine lineare Abbildung differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass $\phi$ eine differenzierbare Abbildung mit  $\phi (0)=0$  ist, deren totales Differential in $0$ die Identität ist.
Nach diesen Reduktionen bedeutet die Differenzierbarkeit von $\phi$ in $0$, dass der Limes

${\lim }_{v\to 0}\frac{\phi (v)-v}{\Vert v\Vert }=0$

ist. Wir müssen entsprechend für die Umkehrabbildung $\psi$ die Beziehung

${\lim }_{w\to 0}\frac{\psi (w)-w}{\Vert w\Vert }=0$

zeigen. Es genügt, dies für jede Folge $w_n\to 0$ nachzuweisen. Eine solche Folge kann man eindeutig als  $w_n=\phi (v_n)$  (mit $v_n=\psi (w_n)$) schreiben und aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von $\psi$ konvergiert auch die Folge ${\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $0$. Also ist

$\begin{array}{cc}\frac{\Vert \psi (w_n)-w_n\Vert }{\Vert w_n\Vert }& =\frac{\Vert \psi (\phi (v_n))-\phi (v_n)\Vert }{\Vert \phi (v_n)\Vert }\\ & =\frac{\Vert v_n-\phi (v_n)\Vert }{\Vert \phi (v_n)\Vert }\\ & =\frac{\Vert \phi (v_n)-v_n\Vert }{\Vert \phi (v_n)\Vert }.\end{array}$

Wegen  $\phi (v)=v+\Vert v\Vert \cdot r(v)$  mit  ${\lim }_{v\to 0}r(v)=0$  gibt es eine hinreichend kleine Umgebung von $0$ derart, dass

$\Vert \phi (v)\Vert =\Vert v+\Vert v\Vert \cdot r(v)\Vert \ge \frac{1}{2}\Vert v\Vert .$

Daher lässt sich die obere Gleichungskette (für $n$ hinreichend groß) fortsetzen durch

$\le 2\cdot \frac{\Vert \phi (v_n)-v_n\Vert }{\Vert v_n\Vert },$

und dies konvergiert gegen $0$.

$◻$

Im Allgemeinen ist eine differenzierbare Abbildung nicht bijektiv. Man kann das Lemma aber häufig anwenden, indem man zu einer kleineren offenen Umgebung des Punktes $P$ übergeht und für diese die Bijektivität auf das Bild zeigt.

Der folgende Satz, der Satz über die lokale Umkehrabbildung, besagt, dass eine stetig differenzierbare Abbildung in einer geeigneten offenen Umgebung eines Punktes bijektiv ist, wenn die Ableitung in diesem Punkt bijektiv ist. D.h., dass sich die Abbildung lokal so verhält wie die lineare Approximation. Die Bedingung, dass das totale Differential in einem Punkt bijektiv ist, lässt sich einfach mit der Determinante überprüfen.

Satz

Es seien $V_1$ und $V_2$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei  $G\subseteq V_1$  offen und es sei

$\phi :G⟶V_2$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  $P\in G$  ein Punkt derart, dass das totale Differential

${\left(D\phi \right)}_P$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge  $U_1\subseteq G$  und eine offene Menge  $U_2\subseteq V_2$  mit  $P\in U_1$  und mit  $\phi (P)\in U_2$  derart, dass $\phi$ eine Bijektion

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\phi {|}_{U_1}{)}^{-1}:U_2⟶U_1$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Beweis

  Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass  $P=0$  und  $\phi (P)=0$  ist. Es sei  $D={\left(D\phi \right)}_P$  die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung $D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung

$G\stackrel{\phi }{⟶}{V}_2\stackrel{D^{-1}}{⟶}{V}_1.$

Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist  $D^{-1}\circ D=\mathrm{Id}$.  Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für $\phi$, da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass $\phi :V_1\to V_1=V_2$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit  $\phi (0)=0$  ist, deren totales Differential in $0$ die Identität ist. Wir werden dennoch von $V_1$ und $V_2$ sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.
Sei  $y\in V_2$  fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung

$H_y:G⟶V_2,x⟼H_y(x)=x-\phi (x)+y.$

Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt  $x\in G$  ist genau dann ein Fixpunkt von $H_y$, also ein Punkt mit  $H_y(x)=x-\phi (x)+y=x$,  wenn  $\phi (x)=y$  ist, d.h. wenn $x$ ein Urbild von $y$ unter $\phi$ ist. Die Abbildungen $H_y$ sind selbst stetig differenzierbar und es gilt  ${\left(D{H}_y\right)}_x=\mathrm{Id}-{\left(D\phi \right)}_x$. 
  Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz auf $H_y$ anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von $y$ unter $\phi$ nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von $x\mapsto {\left(D\phi \right)}_x$ und wegen

${\left(D\phi \right)}_0=\mathrm{Id}$

gibt es ein $r\in ℝ$, $r>0$, derart, dass für alle  $x\in B(0,r)$  die Abschätzung

$\Vert {\left(D{H}_y\right)}_x\Vert =\Vert \mathrm{Id}-{\left(D\phi \right)}_x\Vert \le \frac{1}{2}$

gilt. Für jedes  $x\in B(0,r)$  gilt daher nach der Mittelwertabschätzung die Abschätzung

$\begin{array}{cc}\Vert x-\phi (x)\Vert & =\Vert H_0(x)\Vert \\ & =\Vert H_0(x)-H_0(0)\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert x\Vert .\end{array}$

Für $y\in B(0,\frac{r}{2})$ und $x\in B(0,r)$ gilt

$\begin{array}{cc}\Vert H_y(x)\Vert & =\Vert x-\phi (x)+y\Vert \\ & \le \Vert x-\phi (x)\Vert +\Vert y\Vert \\ & \le \frac{\Vert x\Vert }{2}+\frac{r}{2}\\ & \le \frac{r}{2}+\frac{r}{2}\\ & =r.\end{array}$

Für jedes  $y\in B(0,\frac{r}{2})$  liegt also eine Abbildung

$H_y:B(0,r)⟶B(0,r)$

vor.
Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt für zwei Punkte  $x_1,x_2\in B(0,r)$  die Abschätzung

$\Vert H_y(x_1)-H_y(x_2)\Vert \le \frac{1}{2}\Vert x_1-x_2\Vert ,$

sodass $H_y$ eine stark kontrahierende Abbildung ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel $B(0,r)$ vollständig sind (siehe Aufgabe und Aufgabe), besitzt jede Abbildung $H_y$ aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt aus $B(0,\frac{r}{2})$, den wir mit $\psi (y)$ bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist  $\phi (\psi (y))=y$. 
Zu  $y\in U(0,\frac{r}{2})$  gehört das eindeutige Urbild  $x\in B(0,r)$  zur offenen Kugel $U(0,r)$, wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen $U_2=U(0,\frac{r}{2})$ und $U_1={\phi }^{-1}(U_2)\cap U(0,r)$, wobei $U_1$ aufgrund der Stetigkeit von $\phi$ offen ist. Die eingeschränkte Abbildung

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2,x⟼\phi (x)$

ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung

$\psi :U_2⟶U_1,$

die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.
Wir zeigen zuerst, dass $\psi$ Lipschitz-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten $2$. Seien  $y_1,y_2\in U_2$  gegeben mit den eindeutigen Elementen  $x_1,x_2\in U_1$  mit $\phi (x_1)=y_1$ und $\phi (x_2)=y_2$. Es gelten die Abschätzungen

$\begin{array}{cc}\Vert x_2-x_1\Vert & =\Vert H_0(x_2)+\phi (x_2)-H_0(x_1)-\phi (x_1)\Vert \\ & \le \Vert H_0(x_2)-H_0(x_1)\Vert +\Vert \phi (x_2)-\phi (x_1)\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert x_2-x_1\Vert +\Vert \phi (x_2)-\phi (x_1)\Vert ,\end{array}$

wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich

$\Vert \psi (y_2)-\psi (y_1)\Vert =\Vert x_2-x_1\Vert \le 2\Vert y_2-y_1\Vert .$

Aufgrund von Fakt ist $\psi$ auch differenzierbar und es gilt die Formel

${\left(D\psi \right)}_y=({\left(D\phi \right)}_{\psi (y)}{)}^{-1}.$

Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von $y$ ablesen, da $\psi$ stetig ist, da das totale Differential von $\phi$ nach Voraussetzung stetig von  $x=\psi (y)$  abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.

$◻$