Tensorprodukt/Moduln/Ringwechsel/Einführung/Textabschnitt
Zu einem -Modul und einem Ringhomomorphismus
Es sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Tensorprodukt ist ein -Modul.
- Es gibt einen kanonischen
-Modulhomomorphismus
Bei ist dies ein Isomorphismus.
- Zu einem
-Modulhomomorphismus
ist die induzierte Abbildung
ein -Modulhomomorphismus.
- Zu
ist
- Zu einem weiteren Ringhomomorphismus
ist
(eine Isomorphie von -Moduln).
(1). Die Multiplikation
ist -bilinear und führt nach Fakt zu einer -linearen Abbildung
Dies induziert nach Fakt (2) und nach Fakt einen -Modulhomomorphismus
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
die explizit durch
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die -Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation
induziert eine
-lineare Abbildung
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung
mit dieser Abbildung ist die Identität auf , sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus
Fakt (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine -lineare Abbildung
.
Dies führt zu einer -multilinearen Abbildung
induziert. Andererseits haben wir eine -lineare Abbildung
Rechts steht ein -Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine -multilineare Abbildung
auffassen, die ihrerseits zu einer -linearen Abbildung
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die -Multiplikationen entsprechen.
Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu einem multiplikativen System ist .
- Zu einem Ideal ist .