Tensorprodukt/Moduln/Ringwechsel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem ${}R$-Modul ${}M$ und einem Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R'$

zwischen kommutativen Ringen nennt man ${}R'\otimes _{R}M$ den durch Ringwechsel gewonnenen ${}R'$-Modul.

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$-Modul und ${}R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt ${}R'\otimes _{R}M$ ist ein ${}R'$-Modul.
2. Es gibt einen kanonischen ${}R$-Modulhomomorphismus

   $M\longrightarrow R'\otimes _{R}M,\,v\longmapsto 1\otimes v.$

   Bei ${}R=R'$ ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einem ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ist die induzierte Abbildung

   $\operatorname {Id} _{R'}\otimes \varphi \colon R'\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}N$

   ein ${}R'$-Modulhomomorphismus.

4. Zu ${}M=R^{n}$ ist

   ${}R'\otimes _{R}R^{n}\cong {\left(R'\right)}^{n}\,.$

5. Zu einem weiteren Ringhomomorphismus ${}R'\rightarrow R^{\prime \prime }$ ist

   ${}R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\cong R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R^{\prime }\otimes _{R}M\right)}\,$

   (eine Isomorphie von $R^{\prime \prime }$-Moduln).

Beweis

(1). Die Multiplikation

$R'\times R'\longrightarrow R',\,(r,s)\longmapsto rs,$

ist ${}R'$-bilinear und führt nach Fakt zu einer ${}R'$-linearen Abbildung

$R'\otimes _{R}R'\longrightarrow R'.$

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$R'\otimes _{R}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\cong {\left(R'\otimes _{R}R'\right)}\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}M.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$R'\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow {\left(R'\otimes _{R}M\right)},$

die explizit durch

${}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die ${}R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ${}R'=R$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation ${}R\times M\rightarrow M$ induziert eine ${}R$-lineare Abbildung

$R\otimes _{R}M\longrightarrow M.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung ${}M\rightarrow R\otimes _{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf ${}M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt  (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine ${}R$-lineare Abbildung ${}M\rightarrow R'\otimes _{R}M$. Dies führt zu einer ${}R$-multilinearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\times M\longrightarrow R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)},$

die eine ${}R$-lineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}$

induziert. Andererseits haben wir eine ${}R'$-lineare Abbildung

$R'\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M.$

Rechts steht ein ${}R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine ${}R'$-multilineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$

auffassen, die ihrerseits zu einer ${}R'$-linearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die ${}R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.

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Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ ist ${}M_{S}\cong R_{S}\otimes _{R}M$.
2. Zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ ist ${}M/IM\cong R/I\otimes _{R}M$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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