Topologischer Raum/Kompakt/Stone-Weierstrass/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ eine Menge und sei  ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$  eine Menge von auf ${}X$ definierten ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen. Man sagt, dass ${}T$ die Punkte von ${}X$ trennt, wenn es zu je zwei Punkten  ${}x,y\in X$  eine Funktion  ${}f\in T$  mit  ${}f(x)\neq f(y)$  gibt.

Hier wird ${}X$ stets eine topologischer Raum und ${}T$ wird eine Teilmenge von stetigen Funktionen auf ${}X$ sein. Ein wichtiges Beispiel ist  ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$,   ${}X=[a,b]$  und ${}T$ die Menge der polynomialen Funktionen auf dem Intervall.

Lemma

Es sei ${}X$ eine Menge und sei  ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$  eine ${}\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt.

Dann gibt es zu Punkten  ${}x\neq y$  aus ${}X$ und zu vorgegebenen Werten  ${}a,b\in \mathbb {R}$  ein  ${}g\in T$  mit  ${}g(x)=a$  und  ${}g(y)=b$. 

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und  ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$  eine abgeschlossene ${}\mathbb {R}$-Unteralgebra.

Dann gehört mit ${}f$ auch ${}\vert {f}\vert$ zu ${}T$.

Beweis

Es sei ${}f$ gegeben. Wegen

${}\vert {f}\vert ={\sqrt {f^{2}}}\,$

genügt es zu zeigen, dass mit einer nichtnegativen Funktion ${}g$ auch deren Quadratwurzel zu ${}T$ gehört. Durch Multiplikation mit einer Konstanten können wir nach Fakt davon ausgehen, dass  ${}\vert {g}\vert \leq 1$  ist. Es gibt nach Aufgabe eine Folge von Polynomen ${}P_{n}(t)$, die auf ${}[0,1]$ gleichmäßig gegen ${}{\sqrt {t}}$ konvergiert. Dann konvergiert in ${}C(X,\mathbb {R} )$ auch ${}P_{n}\circ g$ gegen ${}{\sqrt {g}}$, die polynomialen Ausdrücke ${}P_{n}\circ g$ in ${}g$ gehören zu ${}T$ und wegen der Abgeschlossenheit von ${}T$ ist auch  ${}{\sqrt {g}}\in T$. 

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und  ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$  eine abgeschlossene ${}\mathbb {R}$-Unteralgebra.

Dann gehören mit ${}f$ und ${}g$ auch ${}\operatorname {max} \left(f,\,g\right)$ und ${}\operatorname {min} \left(f,\,g\right)$ zu ${}T$.

Beweis

Dies folgt wegen

${}\operatorname {max} \left(f,\,g\right)={\frac {1}{2}}(f+g+\vert {f-g}\vert )\,$

aus Fakt.

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Der folgende Satz heißt Approximationssatz von Stone-Weierstrass.

Satz

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und  ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$  eine ${}\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt.

Dann ist

${}{\overline {T}}=C(X,\mathbb {R} )\,.$

D.h. jede stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus ${}T$ approximieren.

Beweis

Es sei die stetige Funktion

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

und ein  ${}\epsilon >0$  gegeben. Wegen der Trennungseigenschaft gibt es für je zwei Punkte ${}x,y$ nach Fakt eine Funktion  ${}g_{xy}\in T$  mit  ${}g_{xy}(x)=f(x)$  und  ${}g_{xy}(y)=f(y)$.  Diese seien für jedes Punktepaar gewählt. Wir betrachten zu  ${}x\in X$  die offenen Mengen

${}U_{y}={\left\{z\in X\mid g_{xy}(z)<f(z)+\epsilon \right\}}\,,$

die ${}y$ enthalten. Wegen  ${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}$  und der Kompaktheit von ${}X$ gibt es endlich viele Punkte ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ mit  ${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}$.  Wir setzen

${}g_{x}:=\operatorname {min} \left(g_{xy_{i}}{|}i=1,\ldots ,n\right)\,,$

diese Funktionen gehören nach Fakt zu ${}T$. Nach Konstruktion ist

${}g_{x}<f+\epsilon \,$

auf ganz ${}X$. Ferner ist  ${}g_{x}(x)=f(x)$,  da dies für jedes der beteiligten ${}g_{xy_{i}}$ gilt. Deshalb gibt es wiederum eine offene Umgebung  ${}x\in V_{x}$,  auf der

${}f-\epsilon <g_{x}\,$

gilt. Es gibt wieder endliche viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ derart, dass die ${}V_{x_{j}}$ bereits ${}X$ überdecken. Daher gehört wegen Fakt

${}h:=\operatorname {max} \left(g_{x_{j}}{|}j=1,\ldots ,m\right)\,$

zu ${}T$. Es gilt

${}f-\epsilon <h<f+\epsilon \,$

und somit hat man ein  ${}h\in T$  aus der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f$ gefunden.

$\Box$

Wir erwähnen die folgenden Spezialfälle.

Satz

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine kompakte Teilmenge und sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Dann gibt es zu jedem  ${}\epsilon >0$  ein reelles Polynom ${}p$ in ${}n$ Variablen mit

${}\vert {f(z)-p(z)}\vert \leq \epsilon \,$

für alle  ${}z\in T$. 

Die Polynomalgebra ${}\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist dicht in ${}C(T,\mathbb {R} )$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, da Polynome Punkte trennen.

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Satz

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall und ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Dann gibt es zu jedem  ${}\epsilon >0$  ein reelles Polynom ${}p$ mit

${}\vert {f(t)-p(t)}\vert \leq \epsilon \,$

für alle  ${}t\in [a,b]$. 

Die Polynomalgebra ${}\mathbb {R} [t]$ ist dicht in ${}C([a,b],\mathbb {R} )$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, da ${}[a,b]$ kompakt ist und Polynome Punkte trennen.

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