Totale Differenzierbarkeit/K/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt ${}P\in G$, wenn es eine ${}{\mathbb {K} }$-lineare Abbildung ${}L\colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

gibt, wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit ${}r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle ${}v\in V$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.

Diese lineare Abbildung ${}L$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von ${}\varphi$ an der Stelle ${}P$ und wird mit

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bezeichnet.

Äquivalent zur totalen Differenzierbarkeit ist die Eigenschaft, dass der Ausdruck

${}r(v)={\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}\,$

für ${}v\rightarrow 0$ gegen ${}0$ konvergiert. Ebenfalls äquivalent ist die Eigenschaft, dass der Limes (von Funktionen)

$\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}$

existiert und gleich ${}0$ ist.

Das Konzept der totalen Differenzierbarkeit ist eher theoretisch und für konkrete Berechnungen nicht optimal. Wir werden später dieses Konzept mit dem Konzept der partiellen Ableitungen in Verbindung bringen, welches eher für Berechnungen geeignet ist, jedoch von Koordinaten, d.h. von der Auswahl einer Basis, abhängt (siehe auch Beispiel weiter unten).

Der geometrische Gehalt tritt besonders im Fall ${}W=\mathbb {R}$ deutlich hervor. Dann ist der Graph der affin-linearen Abbildung ${}\varphi (P)+\left(D\varphi \right)_{P}(x-P)$ eine lineare Approximation des Graphen der Funktion ${}\varphi (x)$ im Punkt ${}P$.

Beispiel

Ist ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ konstant mit ${}\varphi (v)=w\in W$ für alle ${}v\in V$, so ist ${}\varphi$ differenzierbar mit totalem Differential ${}0$ (siehe Aufgabe).

Proposition

Es sei ${}L\colon V\rightarrow W$ eine ${}{\mathbb {K} }$-lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

Dann ist ${}L$ in jedem Punkt ${}P\in V$ differenzierbar und stimmt in jedem Punkt mit ihrem totalen Differential überein.

Beweis

Aufgrund der Linearität gilt

${}L(P+v)=L(P)+L(v)\,.$

Also können wir ${}r=0$ wählen.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$\varphi \colon {\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 1-{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}},$

deren Graph die untere Hälfte der Kugel mit Radius ${}1$ und Mittelpunkt ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ist. Wir interessieren uns, ob ${}\varphi$ im Nullpunkt ${}(0,0)$ total differenzierbar ist. Aus Symmetriegründen kommt als totales Differential nur die Nullabbildung in Frage. Es geht somit darum, ob für ${}v={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ gegen ${}0$ der Ausdruck

${}{\frac {\varphi (v)}{\Vert {v}\Vert }}={\frac {\varphi (x,y)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\frac {1-{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,$

gegen ${}0$ konvergiert. Mit

${}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,$

ist dies

${\frac {1-{\sqrt {1-r^{2}}}}{r}}.$

Wir wenden darauf die Regel von l'Hospital an. Der abgeleitete Nenner ist ${}1$ und der abgeleitete Zähler ist

${\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}$

und konvergiert gegen ${}0$, sodass Konvergenz gegen ${}0$ vorliegt. Die Nullabbildung ist also in der Tat das totale Differential.

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und sei die Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ auf einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq V$ definiert. Sei ${}P\in G$ ein Punkt.

Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition.

Ist ${}\varphi$ im Punkt ${}P$ differenzierbar, so ist das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Angenommen, es gelte

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)\,$

und

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\,$

mit linearen Abbildungen ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ und mit im Punkt ${}0$ stetigen Funktionen ${}r_{1},r_{2}\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ mit ${}r_{1}(0)=r_{2}(0)=0$. Wir müssen ${}L_{1}=L_{2}$ zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum ${}W$ handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung

${}0=(L_{1}-L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert \cdot (r_{1}(v)-r_{2}(v))\,.$

Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ${}0$ ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass

${}0=L(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$

gilt, wobei ${}L$ linear und ${}r$ eine in ${}0$ stetige Funktion mit ${}r(0)=0$ ist. Wenn ${}L$ nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor ${}v\in V$ mit ${}L(v)=w\neq 0$. Dann gilt für ${}s\in {\mathbb {K} }$

${}0=L(sv)+\Vert {sv}\Vert r(sv)=sw+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$

Dies impliziert, dass ${}r(sv)=-{\frac {sw}{\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert }}$ für ${}s\neq 0$ gilt. Die Norm von ${}r(sv)$ ist daher konstant gleich ${}{\frac {\Vert {w}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\neq 0$. Also gilt ${}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,\Vert {r(sv)}\Vert \neq 0$, ein Widerspruch.

$\Box$

Proposition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es seien ${}\varphi _{1},\varphi _{2}\colon G\rightarrow W$ im Punkt ${}P\in G$ differenzierbare Abbildungen mit den totalen Differentialen ${}\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ und ${}\left(D\varphi _{2}\right)_{P}$.

Dann ist auch ${}\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}$ in ${}P$ differenzierbar und es gilt

${}\left(D(\varphi _{1}+\varphi _{2})\right)_{P}=\left(D\varphi _{1}\right)_{P}+\left(D\varphi _{2}\right)_{P}\,.$

Ebenso gilt ${}\left(D(a\varphi _{1})\right)_{P}=a\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ für alle ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Beweis

Sei ${}\varphi _{1}(P+v)=\varphi _{1}(P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)$ und ${}\varphi _{2}(P+v)=\varphi _{2}(P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)$. Dann gilt

${}{\begin{aligned}(\varphi _{1}+\varphi _{2})(P+v)&=\varphi _{1}(P+v)+\varphi _{2}(P+v)\\&=\varphi _{1}(P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)+\varphi _{2}(P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\\&=(\varphi _{1}+\varphi _{2})(P)+(L_{1}+L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert (r_{1}(v)+r_{2}(v)).\end{aligned}}$

Wir erhalten also die gewünschte Gestalt, da auch ${}r_{1}+r_{2}$ in ${}0$ stetig mit ${}(r_{1}+r_{2})(0)=0$ ist. Der Beweis der zweiten Aussage ist ähnlich.

$\Box$

Proposition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine in ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ auch stetig im Punkt ${}P$.

Beweis

Nach Definition gilt ${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)$ Die rechte Seite ist stetig (nach Definition und Fakt) in ${}v=0$. Damit ist ${}\varphi$ stetig in ${}P$.

$\Box$