Vektorraum/Dualraum/Unterräume/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem Untervektorraum $U \subseteq V$ in einem $K$ -Vektorraum nennt man

U^{⊥} = {f \in V^{*} ∣ f (u) = 0 für alle u \in U} \subseteq V^{*}

den Orthogonalraum zu $U$ .

Diese Orthogonalräume sind Untervektorräume von $V^{*}$ , siehe Aufgabe. Ob eine Linearform $f$ zu $U^{⊥}$ gehört, kann man auf einem Erzeugendensystem von $U$ überprüfen, siehe Aufgabe. Die Eigenschaft $f \in U^{⊥}$ ist äquivalent zu $U \subseteq kern f$ .

Beispiel

Wir betrachten den Untervektorraum

U = ⟨ (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}), (\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ - 3 \end{matrix}) ⟩ \subseteq ℝ^{3} .

Der Orthogonalraum zu $U$ besteht aus allen Linearformen

f : ℝ^{3} ⟶ ℝ

mit $f (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) = 0$ und $f (\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ - 3 \end{matrix}) = 0$ . Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix $(a, b, c)$ gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems

8 a + 6 b + 5 c = 0,

4 a + 7 b - 3 c = 0 .

Der Lösungsraum ist

U^{⊥} = {s (\frac{17}{4}, 1, - 8) ∣ s \in K} .

Beispiel

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $v_{i}$ , $i \in I$ , und Dualbasis $v_{i}^{*}$ , $i \in I$ . Es sei

U = ⟨ v_{j}, j \in J ⟩

zu einer Teilmenge $J \subseteq I$ . Dann ist

U^{⊥} = ⟨ v_{i}^{*}, i \in̸ J ⟩ .

Definition

Es sei $V$ ein $K$ -Vektorraum und $F \subseteq V^{*}$ ein Untervektorraum im Dualraum $V^{*}$ zu $V$ . Dann nennt man

F^{⊥} = {v \in V ∣ f (v) = 0 für alle f \in F} \subseteq V

den Orthogonalraum zu $F$ .

Beispiel

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{matrix}

über einem Körper $K$ gegeben, wobei wir die $i$ -te Gleichung als Kernbedingung für die Linearform

L_{i} : K^{n} ⟶ K, (x_{1}, \dots, x_{n}) ⟼ \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j},

auffassen. Es sei

F = ⟨ L_{1}, \dots, L_{m} ⟩

der von diesen Linearformen im Dualraum ${K^{n}}^{*}$ erzeugte Untervektorraum. Dann ist $F^{⊥}$ der Lösungsraum des Gleichungssystems.

Generell gilt die Beziehung

F^{⊥} = ⋂_{f \in F} kern f .

Insbesondere ist

⟨ f ⟩^{⊥} = kern f .

Lemma

Es sei $V$ ein $K$ -Vektorraum mit Dualraum $V^{*}$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Zu Untervektorräumen $U \subseteq U^{'} \subseteq V$ ist
$U^{⊥} \supseteq U'^{⊥} .$

Zu Untervektorräumen $F \subseteq F^{'} \subseteq V^{*}$ ist
$F^{⊥} \supseteq F'^{⊥} .$

Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
${(U^{⊥})}^{⊥} = U$

und

${(F^{⊥})}^{⊥} = F .$

Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
$\dim_{K} (U^{⊥}) = \dim_{K} (V) - \dim_{K} (U)$

und

$\dim_{K} (F^{⊥}) = \dim_{K} (V) - \dim_{K} (F) .$

Beweis

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion

U \subseteq {(U^{⊥})}^{⊥}

ist auch klar. Sei $v \in V$ , $v \in̸ U$ . Dann kann man eine Basis $u_{1}, \dots, u_{r}$ von $U$ zu einer Basis $u_{1}, \dots, u_{r}, v, v_{1}, \dots, v_{ℓ}$ von $V$ ergänzen. Die Linearform $v^{*}$ verschwindet auf $U$ und gehört daher zu $U^{⊥}$ . Wegen

v^{*} (v) = 1 \neq 0

ist $v \notin {(U^{⊥})}^{⊥}$ .

Die Inklusion

F \subseteq {(F^{⊥})}^{⊥}

gilt wieder direkt. Es sei $f \in {(F^{⊥})}^{⊥}$ , also

F^{⊥} \subseteq kern f .

Es sei $f_{1}, \dots, f_{m}$ ein Erzeugendensystem von $F$ . Nach Aufgabe gilt, dass $f$ eine Linearkombination der $f_{i}$ ist, also $f \in F$ .

(4). Wir beweisen zuerst den zweiten Teil. Es sei $f_{1}, \dots, f_{r}$ eine Basis von $F$ und es sei

φ : V ⟶ K^{r}

die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist

F^{⊥} = kern φ .

Wenn die Abbildung $φ$ nicht surjektiv wäre, so wäre $bild φ$ ein echter Untervektorraum von $K^{r}$ und hätte maximal die Dimension $r - 1$ . Es sei $W$ ein $(r - 1)$ -dimensionaler Untervektorraum mit

bild φ \subseteq W \subseteq K^{r} .

Nach Fakt gibt es eine von $0$ verschiedene Linearform

g : K^{r} ⟶ K,

deren Kern genau $W$ ist. Sei $g = \sum_{i = 1}^{r} a_{i} p_{i}$ , wobei $p_{i}$ die $i$ -te Projektion bezeichnet. Dann ist

\sum_{i = 1}^{r} a_{i} f_{i} = g \circ φ = 0,

was der linearen Unabhängigkeit der $f_{i}$ widerspricht. Also ist $φ$ surjektiv ist und die Aussage folgt aus Fakt.

Der erste Teil folgt, indem man $U = {(U^{⊥})}^{⊥}$ verwendet und den zweiten Teil auf $F = U^{⊥}$ anwendet.

◻