Zahlentheorie/Spektrum/Ringhomomorphismus/Einführung/Textabschnitt

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Wir untersuchen, wie sich das Spektrum eines kommutativen Ringes unter einem Ringhomomorphismus verhält.



Proposition  

Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Zuordnung

    ist (wohldefiniert und) stetig.

  2. Es ist für jedes Ideal .
  3. Für einen weiteren Ringhomomorphismus

    gilt .

Beweis  

Die Abbildung ist nach Aufgabe wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal ist genau dann, wenn ist. Dies ist äquivalent zu und ebenso zu . (3) ist klar.


Die in der vorstehenden Aussage eingeführte stetige Abbildung heißt Spektrumsabbildung (zu dem gegebenen Ringhomomorphismus). Bei einem Unterring

geht es einfach um die Zuordnung . In diesem Fall spricht man auch von „Runterschneiden“.



Beispiel  

Sieht aus wie die Wurzel, soll aber die Quadrierung sein. Die Quadratabbildung sieht man, wenn man ausgehend von der hier vertikalen x-Achse horizontal auf den Graphen geht und dann nach unten projiziert. Diese Sichtweise betont, wie die Fasern zu variierendem aussieht.

Es sei ein Körper und ein Polynom in einer Variablen. Wir betrachten den zugehörigen Ringhomomorphismus

Das Urbild zu einem linearen Primideal ist das Primideal . Dies sieht man am einfachsten, wenn man die Hintereinanderschaltung

betrachtet, die die Evaluation an ist, und die Kerne beachtet. Deshalb liegt das kommutatives Diagramm

vor, wobei in den Horizontalen die Zuordnungen bzw. stehen und rechts die Spektrumsabbildung steht. Die Spektrumsabbildung ist also eine natürliche Erweiterung der durch das Polynom direkt definierten Abbildung von nach , die zusätzlich noch alle Primideale berücksichtigt.


Im zahlentheoretischen Kontext betrachtet man meist eine Ringerweiterung , ein Primideal aus wird dabei unter der Spektrumsabbildung entweder auf das Nullideal abgebildet oder aber auf ein Primhauptideal zu einer Primzahl . Diese Abbildung kann man auf zwei Arten versuchen zu verstehen, erstens, indem man die Primideale von versucht zu verstehen und dann zu bestimmen, wohin diese abgebildet werden, oder aber zweitens, und dies ist im zahlentheoretischen Kontext produktiver, dadurch, dass man versucht zu verstehen, welche Primideale oberhalb von liegen. Diese Frage hängt unmittelbar mit der Frage zusammen, was mit der Primzahl in der Ringerweiterung geschieht, ob es eine Primzahl bleibt oder ob und wie es zerfällt. Die Faser über ist direkt (siehe unten) die Menge der Primideale des Restklassenringes , und dies ist bei einer ganzen Erweiterung ein endlicher Ring.


Beispiel  

SpekZi ueber SpekZ.xcf

Zur Erweiterung stellt man sich die Spekrumsabbildung so vor, dass man zu einer Primzahl versucht zu verstehen, welche Primideale in die Zahl enthalten. Dabei entsteht das Bild rechts.




Proposition  

Es sei ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einem Ideal und der Restklassenabbildung

    ist die Spektrumsabbildung

    eine abgeschlossene Einbettung, deren Bild ist.

  2. Zu einem multiplikativen System ist die zur kanonischen Abbildung

    gehörige Abbildung

    injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von , die zu disjunkt sind.

  3. Zu ist die zur kanonischen Abbildung

    gehörige Abbildung

    eine offene Einbettung, deren Bild gleich ist.

Beweis  

(1) folgt aus Aufgabe: Die Primideale in entsprechen über den Primidealen von , die enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal und einem Primideal ist genau dann , wenn

gilt. Also ist das Bild von gleich und damit abgeschlossen.
Für (2) siehe Aufgabe.
(3). Da für ein Primideal und ein Element die Beziehung genau dann gilt, wenn zum multiplikativen System disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich ist. Das gleiche Argument, angewendet auf bzw. zeigt, dass das Bild von gleich und damit offen ist.




Lemma  

Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen und es sei

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal gleich .

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen mit und mit .

Beweis  

Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal gilt genau dann, wenn sowohl als auch gilt. Die erste Bedingung ist zu und die zweite Bedingung ist zu

äquivalent.


Insbesondere ist die Faser eines Spektrumsmorphismus über einem Punkt selbst wieder das Spektrum eines Ringes. Ein Spezialfall der vorstehenden Aussage ist, dass die Faser über einem maximalen Ideal gleich ist, da in diesem Fall aus sofort folgt und wegen der Maximalität Gleichheit gelten muss. Bei einem Integritätsbereich und dem Nullideal erübrigt es sich, das Erweiterungsideal zu betrachten, die Faser wird einfach durch beschrieben.


Definition  

Zu einem Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und einem Primideal nennt man den Faserring über .

Die Aussage Fakt bedeutet also, dass die Faser der Spektrumsabbildung über gleich dem Spektrum des Faserringes ist. Der Faserring beinhaltet dabei eine genauere algebraische Information, aus der die topologische und mengentheoretische Information ablesbar ist. Wenn ein maximales Ideal von ist, so braucht man die Nenneraufnahme nicht, der Faserring ist dann einfach gleich . Den Faserring kann man allgemein auch als realisieren.

Bemerkung  

Wenn ein Ringhomomorphismus in der Form

vorliegt, so wird der Faserring über einem Primideal durch

beschrieben, wobei die Reduktion von modulo bezeichnet. Dies bedeutet einfach, dass man die Koeffizienten der Polynome modulo interpretiert.

Bei und und einem maximalen Ideal zu einer Primzahl ist der Faserring einfach . Dies ist also eine Algebra über dem endlichen Körper . Wenn ein normiertes Polynom vom Grad ist, so ist diese Algebra endlich mit Elementen, die man allein schon wegen der Endlichkeit explizit beschreiben kann. Wenn über irreduzibel ist, so muss aber nicht unbedingt irreduzibel sein. In der Tat ist es so, dass genau dann ein Primelement in bleibt, wenn irreduzibel in ist. Genau in diesem Fall ist der Faserring ein Körper.