1-Form/K/Vektorräume/Fokus auf Funktionentheorie/Exakt und geschlossen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}1$-Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Die Differentialform ${}\omega$ heißt exakt, wenn es eine total differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow W$ mit ${}\omega =d\varphi$ gibt.

Die Abbildung ${}\varphi$ nennt man auch eine Stammform zu ${}\omega$.

Korollar

Es sei ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe.

Dann ist die holomorphe Differentialform ${}fdz$ auf ${}U{\left(0,r\right)}$ exakt.

Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Fakt.

$\Box$

Aufgrund von Fakt ist die vorstehende Aussage für jede auf einer offenen Kreisscheibe definierte komplex-differenzierbare Funktion anwendbar.

Definition

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige differenzierbare ${}1$-Differentialform auf ${}U$, die bezüglich einer Basis von ${}V$ mit Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Beschreibung

${}\omega =\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}dx_{i}\,$

mit ${}W$-wertigen differenzierbaren Funktionen

$\psi _{i}\colon U\longrightarrow W$

besitze. Dann versteht man unter der äußeren Ableitung von ${}\omega$ die ${}2$-Form

${}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d\psi _{j}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\right)}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$

Die äußere Ableitung macht also aus einer ${}1$-Form eine ${}2$-Form. Auch das totale Differential, aufgefasst als ${}1$-Form, bezeichnet man als eine äußere Ableitung, sie macht aus einer ${}0$-Form (einer Abbildung) eine ${}1$-Form.

Definition

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige differenzierbare ${}1$-Differentialform auf ${}U$. Die Differentialform ${}\omega$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige exakte stetig differenzierbare ${}1$-Differentialform auf ${}U$.

Dann ist ${}\omega$ geschlossen.

Beweis

Es sei ${}\varphi \colon U\rightarrow W$ total differenzierbar mit ${}\omega =d\varphi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}dx_{i}$, was es aufgrund der Exaktheit gibt. Wegen der stetigen Differenzierbarkeit von ${}\omega$ ist ${}\varphi$ zweifach stetig differenzierbar. Es ist

${}d\omega =\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}\,.$

Aufgrund des Satzes von Schwarz sind die Komponentenfunktionen gleich ${}0$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, sei ${}f=g+h{\mathrm {i} }\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Abbildung mit reell total differenzierbare reellwertigen Koeffizientenfunktionen ${}g,h\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir betrachten die ${}{\mathbb {C} }$-wertige Differentialform auf ${}U$ mit der Darstellung

${}\omega =fdz={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x+y{\mathrm {i} }\right)}={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,.$

Dann ist ${}f$ genau dann komplex differenzierbar, wenn ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform ist.

Beweis

Die äußere Ableitung von

${}\omega ={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,$

ist

${}{\begin{aligned}d\omega &=d{\left(g+h{\mathrm {i} }dx\right)}+d{\left(g{\mathrm {i} }-hdy\right)}\\&=d{\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}\wedge dx+d{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial g}{\partial y}}dy+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}dy\right)}\wedge dx+{\left({\mathrm {i} }{\frac {\partial g}{\partial x}}dx-{\frac {\partial h}{\partial x}}dx\right)}\wedge dy\\&={\left(-{\frac {\partial g}{\partial y}}-{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\left(-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\frac {\partial g}{\partial x}}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dx\wedge dy.\end{aligned}}$

Die Geschlossenheit bedeutet, dass dieser Ausdruck gleich ${}0$ ist, und dies bedeutet, dass beide Komponentenfunktionen ${}0$ sind. Dies bedeutet gerade, dass die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind, was nach Fakt zur komplexen Differenzierbarkeit äquivalent ist.

$\Box$