Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Textabschnitt

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ . Es sei

ψ : V^{n} ⟶ W

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$ -Vektorraum $W$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\tilde{ψ} : \overset{n}{⋀} V ⟶ W$

derart, dass das Diagramm

$\begin{matrix} V^{n} & \overset{}{⟶} & \overset{n}{⋀} V \\ ↘ & ↓ \\ W \end{matrix}$

kommutiert.

Beweis

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung

e_{(v_{1}, \dots, v_{n})} ⟼ ψ (v_{1}, \dots, v_{n})

wird nach Fakt eine $K$ -lineare Abbildung

\bar{ψ} : H ⟶ W

definiert. Da $ψ$ multilinear und alternierend ist, wird unter $\bar{ψ}$ der Untervektorraum $U \subseteq H$ auf $0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine $K$ -lineare Abbildung

\tilde{ψ} : H / U ⟶ W,

die mit $\bar{ψ}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\overset{n}{⋀} V$ bilden und diese auf $ψ (v_{1}, \dots, v_{n})$ abgebildet werden müssen.

◻

Es bezeichne ${Alt}^{n} (V, W)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von $V^{n}$ nach $W$ . Diese Menge kann man mit einer natürlichen $K$ -Vektorraumstruktur versehen, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und $n \in ℕ$ .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${Hom}_{K} (\overset{n}{⋀} V, W) ⟶ {Alt}^{n} (V, W), ψ ⟼ ((v_{1}, \dots, v_{n}) \mapsto ψ (v_{1} \land \dots \land v_{n})) .$

Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung $ψ \mapsto ψ \circ δ$ , wobei $δ : V \times \dots \times V \to \overset{n}{⋀} V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Homomorphismenraumes und des Raumes der alternierenden Abbildungen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Fakt.