Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Textabschnitt

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es sei

$\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Beweis

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$

wird nach Fakt eine ${}K$-lineare Abbildung

${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$

definiert. Da ${}\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${}{\bar {\psi }}$ der Untervektorraum  ${}U\subseteq H$  auf ${}0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine ${}K$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$

die mit ${}{\bar {\psi }}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf ${}\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.

$\Box$

Es bezeichne ${}\operatorname {Alt} ^{n}(V,W)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von ${}V^{n}$ nach ${}W$. Diese Menge kann man mit einer natürlichen ${}K$-Vektorraumstruktur versehen, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und  ${}n\in \mathbb {N}$. 

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(\bigwedge ^{n}V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Alt} ^{n}(V,W),\,\psi \longmapsto ((v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})).$

Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung ${}\psi \mapsto \psi \circ \delta$, wobei ${}\delta \colon V\times \cdots \times V\rightarrow \bigwedge ^{n}V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Homomorphismenraumes und des Raumes der alternierenden Abbildungen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und  ${}n\in \mathbb {N}$. 

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\longrightarrow \operatorname {Alt} ^{n}(V,K),\,\psi \longmapsto ((v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})).$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. 

Dann gibt es eine kanonische surjektive lineare Abbildung

$V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V\longrightarrow V\wedge \ldots \wedge V,\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{k}\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}.$

Beweis

Dies ergibt sich aus der alternierenden Abbildung

$V^{k}\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k},$

gemäß Fakt  (2). Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$ im Bild liegt.

$\Box$