Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ ein Polynom mit Restklassenring

{}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\,.

Dann ist

${}R\otimes _{K}R\cong R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/(G)\,$

mit

${}G=\sum _{\lambda }G_{\lambda }A^{\lambda }\,$

und

${}G_{\lambda }={\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }(F)\,.$

Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung

{}{\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/(F,{\tilde {F}}),\end{aligned}}

wobei ${}{\tilde {F}}$ aus ${}F$ entsteht, indem man ${}X_{i}$ durch ${}{\tilde {X}}_{i}$ ersetzt. Wir setzen

{}A_{i}={\tilde {X_{i}}}-X_{i}\,

an und schreiben den Ring als

K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/(F,G),

wobei

{}G={\tilde {F}}=F(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k})\,

ist. Betrachte ein Monom ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus ${}F$ . In die Gleichung ${}G$ für die Algebra der Hauptteile geht dies in der Form

(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}

ein. Ausmultiplizieren ergibt

\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}.

Auf das Taylormonom ${}A^{\lambda }$ bezieht sich also der Term

{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.

Dies stimmt mit

{\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }(X^{\nu })

überein.

\Box

In positiver Charakteristik muss man die rechte Seite (Division durch die Fakultät) durch die linke erklären.

Bemerkung

In der Matrix steht an der Stelle ${}(\lambda ,\mu )$ der Eintrag

{\frac {1}{(\lambda -\mu )!}}D^{\lambda -\mu }(F).

In der ${}\lambda$ -Zeile steht demnach

\sum _{\mu <\lambda }{\frac {1}{(\lambda -\mu )!}}D^{\lambda -\mu }(F)A^{\mu }.

Dies sind global beschränkte Ausdrücke, da ${}D^{\lambda -\mu }(F)$ oberhalb des Grades von ${}F$ gleich ${}0$ ist. Der Ausdruck zu ${}\mu =\lambda$ ist ${}0$ , da man auf die Grundgleichung ${}F$ abzieht.