Endliche Erweiterung/Z/Normalitätskriterien/Textabschnitt
Lemma
Es sei ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender und sei ein normiertes irreduzibles Polynom. Sei . In der Zerlegung von in in irreduzible Faktoren, , seien alle Faktoren einfach.
Dann ist der ganze Abschluss von in und insbesondere normal.
Beweis
Wir können direkt annehmen, dass die zu gehören. Die maximalen Ideale von sind für . Die Voraussetzung bedeutet für die Beziehung und für
die Gleichheit
Da und teilerfremd sind, sind die Einheiten in der Lokalisierung und daher ist
D.h. in ist das maximale Ideal ein Hauptideal mit dem Erzeuger und daher liegt nach Fakt ein diskreter Bewertungsring vor. Somit ist normal.
Die Beispielklasse , wo der Faserring immer einen mehrfachen Faktor besitzt, zeigt, dass
Fakt
keine notwendige Voraussetzung für die Normalität ist. Die Bedingung, dass in der Primfaktorzerlegung von in jeder Faktor einfach ist, kann man auch so formulieren, dass der
Faserring
reduziert ist. Bei in gilt ja generell nach Fakt die Beziehung
und dies ist genau dann reduziert, wenn jeder Komponentenring reduziert ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn jeder Komponentenring ein Körper ist, also genau bei für alle . Im Allgemeinen, wenn beispielsweise der Ring durch mehrere Variablen und Gleichungen beschrieben wird, ist die Beschreibung mit reduziert wichtiger, bei nur einer Gleichung lässt sich aber die Bedingung in Fakt einfacher überprüfen.
Korollar
Es sei ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender und sei ein normiertes irreduzibles Polynom. Es seien und in teilerfremd.
Dann ist normal und gleich dem ganzen Abschluss von in .
Beweis
Korollar
Es sei ein normiertes irreduzibles Polynom, .
Dann ist bis auf endlich viele Primzahlen der Ring normal.
Beweis
Wir betrachten als irreduzibles Polynom in . In Charakteristik sind irreduzibel und teilerfremd. Deshalb gibt es Polynome mit . Es sei ein Hauptnenner der Koeffizienten von und . Dann gibt es Polynome mit . Für jede Primzahl , die kein Teiler von ist, gilt entsprechend in und ist dort eine Einheit. Deshalb sind in teilerfremd und die Normalität von folgt aus Fakt.
Beispiel
Wir betrachten das kubische Polynom , das nach Aufgabe irreduzibel ist, und . Die Ableitung des Polynoms ist , und in gilt die Gleichung
Nach dem Beweis zu Fakt ist daher für jede Primzahl normal. Über ist der Faserring gleich
Dies bedeutet, dass das einzige maximale Ideal in gleich ist. Wegen
ist aber ein Erzeuger von diesem maximalen Ideal und daher ist überhaupt normal.
Lemma
Es sei ein normiertes irreduzibles Polynom, und sei eine Primzahl derart, dass in die Zerlegung
mit irreduziblen Polynomen gelte.
Dann gilt in die Gleichheit
Beweis
In sind die zueinander paarweise teilerfremd. Wir behaupten, dass in die Gleichheit
gilt, wobei die letzte Gleichheit auf Fakt beruht. Zum Nachweis der linken Gleichheit sei
es ist zu zeigen. Modulo ist
in . Nach Fakt ist
Die Voraussetzung bedeutet, dass in jeder Komponente ist, also insgesamt gleich ist.
Korollar
Es sei ein normiertes irreduzibles Polynom, und sei eine Primzahl derart, dass der Faserring reduziert ist.
Dann ist das Produkt von Primidealen.
Beweis
Ohne die Voraussetzung reduziert ist die Aussage nicht richtig, siehe
Beispiel.
Wir behandeln noch den Fall, wo die Algebra durch mehrere Variablen erzeugt wird. Dies ergibt auch einen weiteren Beweis für Fakt.
Lemma
Es sei ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender und es sei . eine endliche integre -Algebra. Der Faserring sei reduziert.
Dann ist normal.
Beweis
Es sei ein maximales Ideal von . Wir betrachten das kommutative Diagramm
Als Lokalisierung eines nach Voraussetzung reduzierten Ringes ist der Ring rechts unten reduziert, also hier sogar ein Körper. Dies heißt aber, dass
gilt und das bedeutet, dass ein diskreter Bewertungsring ist.