Glatte projektive Kurve/Riemann-Roch/Lokal frei/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Dann ist der Grad von lokal freien Garben auf ${}C$ additiv für kurze exakte Sequenzen.

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

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Lemma

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Dann ist jede von ${}0$ verschiedene kohärente Idealgarbe ${}{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{C}$ invertierbar.

Beweis

Da man die Invertierbarkeit lokal in den Halmen ${}{\mathcal {O}}_{C,x}$ testen kann, folgt die Aussage daraus, dass die lokalen Ringe diskrete Bewertungsringe und diese Hauptidealbereiche sind.

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Satz

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf ${}C$ vom Rang auf ${}C$.

Dann gibt es eine Filtration

${}0={\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{r-1}\subset {\mathcal {F}}_{r}={\mathcal {F}}\,$

mit lokal freien Garben ${}{\mathcal {F}}_{i}$ derart, dass die Quotientengarben ${}{\mathcal {F}}_{i+1}/{\mathcal {F}}_{i}$ invertierbar sind.

Beweis

Zur dualen Garbe ${}{\mathcal {F}}^{*}$ gibt es für ${}n$ hinreichend groß nach Fakt einen nichttrivialen globalen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(C,{\mathcal {F}}^{*}(n)\right)}$, der einem nichttrivialen Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{*}(n)$

entspricht. Dualisiert ergibt sich ein nichttrivialer Modulhomomorphismus

${\mathcal {F}}(-n)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}.$

Das Bild davon ist eine Idealgarbe ${}{\mathcal {I}}\neq 0$, die nach Fakt invertierbar ist. Es gibt also einen surjektiven Garbenhomomorphismus

${\mathcal {F}}(-n)\longrightarrow {\mathcal {I}}$

und damit auch einen surjektiven Garbenhomomorphismus

${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{C}(n):={\mathcal {L}}.$

Da ${}{\mathcal {L}}$ invertierbar ist, ist der Kern ${}{\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ nach Fakt lokal frei, und zwar von einem kleineren Rang. Induktive Anwendung dieses Verfahrens auf ${}{\mathcal {F}}_{r-1}:={\mathcal {G}}$ liefert die Filtration.

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Satz

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf ${}C$ vom Rang ${}r$.

Dann ist

${}h^{0}(C,{\mathcal {F}})-h^{1}(C,{\mathcal {F}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {F}})+r{\left(1-g\right)}\,.$

Beweis

Wir führen Induktion über den Rang ${}r$, wobei der Induktionsanfang ${}r=1$ durch Fakt gesichert ist. Es sei eine lokal freie Garbe vom Rang ${}r$ gegeben. Wir ziehen eine Filtation

${}0={\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{r-1}\subset {\mathcal {F}}_{r}\,$

mit invertierbaren Quotienten ${}{\mathcal {F}}_{i+1}/{\mathcal {F}}_{i}$ heran, die es nach Fakt gibt. Insbesondere gibt es eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{r-1}\longrightarrow {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{r}/{\mathcal {F}}_{r-1}\longrightarrow 0.$

Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt die Formel von Riemann-Roch für ${}{\mathcal {F}}_{r-1}$ und wegen Fakt gilt sie für die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {F}}_{r}/{\mathcal {F}}_{r-1}$. Da die Euler-Charakteristik, also

${}\chi {\left({\mathcal {G}}\right)}=h^{0}(C,{\mathcal {G}})-h^{1}(C,{\mathcal {G}})\,$

nach Fakt additiv für kurze exakte Sequenzen und da der Grad von lokal freien Garben nach Fakt ebenfalls additiv für kurze exakte Sequenzen ist, gilt die Formel auch für ${}{\mathcal {F}}$.

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