Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Gruppe. Eine Operation

heißt linear, wenn für jedes die Abbildung

-linear ist.

Bei einer linearen Operation sind die Abbildungen sogar -Automorphismen. Eine lineare Operation ist das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus


Beispiel  

Es sei ein -Vektorraum über einem Körper . Die allgemeine lineare Gruppe operiert in natürlicher Weise linear auf . Die Elemente sind ja definiert als -Automorphismen von in sich und somit ist die Abbildung

wohldefiniert. Da die Verknüpfung auf einfach die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist, ergibt sich sofort

so dass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt und , da es zu zwei von verschiedenen Vektoren und stets einen Automorphismus gibt, der in überführt.



Beispiel  

Es sei ein -Vektorraum über einem Körper . Die natürliche lineare Operation der allgemeinen linearen Gruppe auf , also die Abbildung

induziert für jede Untergruppe eine lineare Operation

Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der sind die spezielle lineare Gruppe (dazu muss endlichdimensional sein) und alle endlichen Gruppen (wenn die Dimension von hinreichend groß ist). Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine Bilinearform (beispielsweise ein Skalarprodukt bei oder ), so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die orthogonale Gruppe und die eigentliche Isometriegruppe .



Beispiel  

Die symmetrische Gruppe ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge , also

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben,

ist eine Gruppe mit Elementen.

Die Permutationsgruppe operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf wie folgt: Der -te Basisvektor wird auf geschickt, also . Dies definiert nach Fakt einen linearen Automorphismus

den wir ebenfalls mit bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der -ten Spalte in der -ten Zeile eine steht, und sonst überall . Eine solche Matrix nennt man eine Permutationsmatrix. Wenn diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle (-te Zeile, -te Spalte) eine und sonst überall eine als Eintrag besitzt, so ist die zu gehörende Permutationsmatrix gleich

Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation.

Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe , und die Zuordnung ist ein Gruppenisomorphismus zwischen der Permutationsgruppe und dieser endlichen Untergruppe. Nach Beispiel operiert die Permutationsgruppe linear auf dem .



Definition  

Es sei ein Körper und eine Gruppe, die auf einem -Vektorraum linear operiere. Ein Untervektorraum heißt -invariant, wenn für alle und alle auch istVorlage:Zusatz/zusatz1

Dies kann man auch so ausdrücken, dass jede zu gehörende Abbildung den Unterraum in sich selbst abbildet. D.h. ist -invariant für jedes . Bei endlichdimensionalem ist dann sogar stets

Die Operation lässt sich in natürlicher Weise auf einen jeden invarianten Unterraum einschränken. Man nennt diese Räume daher auch einfach -Räume.


Definition  

Es sei ein Körper und eine Gruppe, die auf einem -Vektorraum linear operiere. Der Untervektorraum

heißt der Fixraum der Gruppenoperation.

Der Fixraum ist einfach die Menge aller Fixpunkte der Operation. Er ist ein -invarianter Untervektorraum.