Hauptachsentransformation/Reelle Quadriken/Textabschnitt

Zu einem quadratischen Polynom $a X^{2} + b X + c$ in einer Variablen $X$ mit $a, b, c \in K$ und $a \neq 0$ findet man die Nullstellen durch quadratisches Ergänzen. D.h. man schreibt (die Charakteristik des Körpers sei nicht $2$ )

a X^{2} + b X + c = a (X^{2} + \frac{b}{a} X + \frac{c}{a}) = a ({(X + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}) .

Dies ist genau dann gleich $0$ , wenn

X = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}} - \frac{b}{2 a}

und die Wurzel

\sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}} = \frac{1}{2 a} \sqrt{b^{2} - 4 a c}

in dem Körper existiert. Je nachdem gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.

Wir stellen nun den Zusammenhang zwischen quadratischen Polynomen und Bilinearformen her.

Definition

Zu einer Bilinearform $⟨ -, - ⟩$ auf einem $K$ -Vektorraum $V$ nennt man die Abbildung

V ⟶ K, v ⟼ ⟨ v, v ⟩,

die zugehörige quadratische Form.

Zu einer fixierten Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ wird eine Bilinearform durch ihre Gramsche Matrix

G = {(g_{i j})}_{i j}

beschrieben, und die zugehörige quadratische Form $V \to K$ wird, wenn man $X_{i}$ für die $i$ -te Projektion (die zugehörige Dualbasis) schreibt, durch das quadratische Polynom

(X_{1}, \dots, X_{n}) G (\begin{matrix} X_{1} \\ ⋮ \\ X_{n} \end{matrix}) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} g_{i j} X_{i} X_{j} = \sum_{i} g_{i i} X_{i}^{2} + \sum_{i < j} (g_{i j} + g_{j i}) X_{i} X_{j}

beschrieben. Im symmetrischen Fall ist dies

\sum_{i} g_{i i} X_{i}^{2} + \sum_{i < j} 2 g_{i j} X_{i} X_{j} .

Umgekehrt kann man jedes rein-quadratische Polynom in $n$ Variablen in dieser Weise mit einer symmetrischen Gramschen Matrix ausdrücken. Die Theorie der reell-symmetrischen Bilinearformen erlaubt es, durch eine geeignete Koordinatentransformation (einen Basiswechsel) die gemischten Terme wegzukriegen.

Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den beiden Variablen $X$ und $Y$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf $0, 1, - 1$ beschränken. Wenn nur die eine Variable $X$ vorkommt, so hat man im Wesentlichen die drei folgenden Möglichkeiten.

$X^{2}$ Das Nullstellengebilde ist eine „verdoppelte Gerade“.

$X^{2} - 1$ Das bedeutet

X = \pm 1

zwei parallelen Geraden

$X^{2} + 1$ Das Nullstellengebilde ist leer.

In diesen Fällen (wo die zweite Variable $Y$ nicht explizit vorkommt) ist das Nullstellengebilde einfach die Produktmenge eines nulldimensionalen Nullstellengebildes (endlich viele Punkte) und einer Geraden.

Nun betrachten wir die Polynome, wo beide Variablen vorkommen.

$Y^{2} - X$ Das Nullstellengebilde ist eine Parabel.

$Y^{2} - X^{2}$ Das bedeutet

(Y - X) (Y + X) = 0

zwei sich kreuzenden Geraden

$Y^{2} + X^{2}$ Die einzige Lösung ist der Punkt $(0, 0)$ , das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.

$Y^{2} - X^{2} - 1$ Das bedeutet

(Y - X) (Y + X) = 1

Hyperbel

$Y^{2} + X^{2} - 1$ Das Nullstellengebilde ist der Einheitskreis.

$Y^{2} + X^{2} + 1$ Das ist wieder leer.

Das Polynom $X Y - 1$ taucht in dieser Liste nicht direkt auf, da es in den Variablen $X = U + V$ und $Y = U - V$ , also

U^{2} - V^{2} = 1

geschrieben werden kann. In dieser Form ist es also doch in der Liste. Der folgende Satz sagt unter anderem, dass bis auf Verzerrungen die Liste vollständig ist.

Beispiel

Wir erstellen eine Liste von reellen quadratischen Polynomen in den drei Variablen $X, Y$ und $Z$ mit den zugehörigen Nullstellenmengen, wobei wir die Koeffizienten auf $0, 1, - 1$ beschränken. Ferner betrachten wir nur solche Polynome, wo sämtliche Variablen vorkommen und deren Nullstellengebilde nicht leer ist.

$Y^{2} + X^{2} - Z$ Das Nullstellengebilde ist ein Paraboloid.

$Y^{2} - X^{2} - Z$ Das Nullstellengebilde ist eine Sattelfläche.

$X^{2} + Y^{2} + Z^{2}$ Die einzige Lösung ist der Punkt $(0, 0, 0)$ , das Nullstellengebilde ist also ein einziger Punkt.

$X^{2} + Y^{2} + Z^{2} - 1$ Das Nullstellengebilde ist eine Sphäre, also die Oberfläche einer Kugel.

$X^{2} + Y^{2} - Z^{2}$ Das Nullstellengebilde ist die Lösungsmenge zur Gleichung $Z^{2} = X^{2} + Y^{2}$ . Das ist ein runder (Doppel)-Kegel.

$X^{2} + Y^{2} - Z^{2} - 1$ Das Nullstellengebilde ist ein einschaliges Hyperboloid.

$X^{2} + Y^{2} - Z^{2} + 1$ Das Nullstellengebilde ist ein zweischaliges Hyperboloid.

Satz

Jedes reelle rein-quadratische Polynom

F = \sum_{i \leq j} a_{i j} X_{i} X_{j}

besitzt in einer geeigneten Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) die Form

$F = \sum_{1 \leq i \leq n} r_{i} U_{i}^{2} .$

Die Koeffizienten $r_{i}$ sind die Eigenwerte der quadratischen symmetrischen Matrix

M = {(α_{i j})}_{1 \leq i, j \leq n}

mit

α_{i j} = {\begin{matrix} a_{i j} für i = j, \\ \frac{a_{i j}}{2} für i < j, \\ \frac{a_{j i}}{2} für i > j . \end{matrix}

Beweis

Mit der im Satz aufgestellten Matrix $M$ kann man das Polynom in der Form

(X_{1}, \dots, X_{n}) M (\begin{matrix} X_{1} \\ ⋮ \\ X_{n} \end{matrix})

schreiben. Nach Definition ist die Matrix $M$ symmetrisch. Nach Fakt gibt es eine Orthonormalbasis $v_{1}, \dots, v_{n}$ des $ℝ^{n}$ , bezüglich der die neue Gramsche Matrix

D = B^{tr} M B

Diagonalgestalt besitzt, wobei

B = M_{𝔢}^{𝔳}

die Basiswechselmatrix von der neuen Basis zur Standardbasis bezeichnet, was wir kurz als

(\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{d} \end{matrix}) = B^{tr} (\begin{matrix} e_{1} \\ ⋮ \\ e_{d} \end{matrix})

im Sinne von Bemerkung ausdrücken. Es sei $U_{1}, \dots, U_{n}$ die Dualbasis zur neuen Orthonormalbasis. Die $U_{i}$ beschreiben also die neuen Koordinatenfunktionen, und diese fassen wir als neue Variablen auf. Es besteht dann nach Fakt die Beziehung

(\begin{matrix} X_{1} \\ ⋮ \\ X_{d} \end{matrix}) = B (\begin{matrix} U_{1} \\ ⋮ \\ U_{d} \end{matrix}) .

Es ist somit

\begin{matrix} F & = (X_{1}, \dots, X_{n}) M (\begin{matrix} X_{1} \\ ⋮ \\ X_{n} \end{matrix}) \\ = (X_{1}, \dots, X_{n}) {B^{- 1}}^{tr} D B^{- 1} (\begin{matrix} X_{1} \\ ⋮ \\ X_{n} \end{matrix}) \\ = (U_{1}, \dots, U_{n}) D (\begin{matrix} U_{1} \\ ⋮ \\ U_{n} \end{matrix}) . \end{matrix}

Wenn man dies ausrechnet, so ergibt sich $\sum_{i = 1}^{n} r_{i} U_{i}^{2}$ , wobei die $r_{i}$ die Diagonaleinträge von $D$ sind. Nach Fakt stimmen die Eigenwerte von $M$ mit denen von $D$ (einschließlich der Vielfachheiten) überein.

◻

Beispiel

Wir betrachten das rein-quadratische Polynom

F = 3 X^{2} - 4 X Y + 5 Y^{2} .

Um Fakt anzuwenden, müssen wir von der Matrix

M = (\begin{matrix} 3 & - 2 \\ - 2 & 5 \end{matrix})

die Eigenwerte bestimmen. Das charakteristische Polynom ist

(X - 3) (X - 5) - 4 = X^{2} - 8 X + 11 = (X - 4)^{2} - 5 .

Somit sind die Eigenwerte gleich

x_{1} = \sqrt{5} + 4 und x_{2} = - \sqrt{5} + 4.

In einer geeigneten Orthonormalbasis besitzt dieses Polynom daher die Form

F = (\sqrt{5} + 4) U^{2} + (- \sqrt{5} + 4) V^{2} .

Beispiel

Wir möchten die rein-quadratische Form

\frac{3}{2} X^{2} + 2 Y^{2} + 2 X Y - 2 Y Z

auf Standardform im Sinne von Fakt bringen. Die zugehörige symmetrische Matrix ist

(\begin{matrix} \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix}),

deren Eigenwerte wir bestimmen müssen. Das charakteristische Polynom der Matrix ist

\begin{matrix} det (\begin{matrix} X - \frac{3}{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & X - 2 & 1 \\ 0 & 1 & X \end{matrix}) & = (X - \frac{3}{2}) (X^{2} - 2 X - 1) - X \\ = X^{3} - \frac{7}{2} X^{2} + X + \frac{3}{2} \\ = (X - 1) (X^{2} - \frac{5}{2} X - \frac{3}{2}) \\ = (X - 1) (X - 3) (X + \frac{1}{2}), \end{matrix}

die Eigenwerte sind also

1, 3, - \frac{1}{2} .

In den neuen Variablen $U, V, W$ zur Orthonormalbasis aus den Eigenvektoren zu diesen Eigenwerte ist

F = U^{2} + 3 V^{2} - \frac{1}{2} W^{2} .

Satz

Jedes reelle quadratische Polynom

F = \sum_{i \leq j} a_{i j} X_{i} X_{j} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} X_{i} + c

besitzt in einer geeigneten (verschobenen) Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) die Form (mit $k \leq n$ und $r_{i} \neq 0$ )

$F = \sum_{1 \leq i \leq k} r_{i} U_{i}^{2} + s$

oder die Form (mit $k \leq n - 1$ und $r_{i} \neq 0$ )

$F = \sum_{1 \leq i \leq k} r_{i} U_{i}^{2} + s U_{k + 1} .$

Beweis

Wir führen auf dem rein-quadratischen Anteil $\sum_{i \leq j} a_{i j} X_{i} X_{j}$ die Transformation aus Fakt durch und erhalten neue Variablen $V_{j}$ (die dual zu einer Orthonormalbasis sind), in denen das Polynom die Gestalt

F = \sum_{1 \leq i \leq k} e_{i} V_{i}^{2} + \sum_{j = 1}^{n} f_{j} V_{j} + g

bekommt, mit einem gewissen $k$ zwischen $1$ und $n$ , wobei die $e_{i} \neq 0$ seien. Die Summanden

e_{i} V_{i}^{2} + f_{i} V_{i}

können durch quadratisches Ergänzen mit den neuen Variablen $U_{i} = V_{i} + h_{i}$ auf die Gestalt

e_{i} U_{i}^{2} + g_{i}

gebracht werden. Abgesehen vom nun rein-quadratischen Term bleibt entweder eine Konstante oder ein lineares Polynom übrig, welches als Variable $U_{k + 1}$ angesetzt werden kann.

◻

Die im vorstehenden Satz auftretende Darstellung nennen wir die Standardgestalt einer quadratischen Form. Bei ihr kommen nur rein-quadratische Terme sowie allenfalls eine Variable in der ersten Potenz vor. Der Satz besagt also, dass jede quadratische Form in geeigneten orthonormalen (kartesischen) Koordinaten auf eine solche Standardgestalt gebracht werden kann. Für das Nullstellengebilde bedeutet eine solche Koordinatentransformation lediglich, dass eine affin-lineare Isometrie angewendet wird.

Bemerkung

Eine quadratische Form in Standardgestalt

\sum_{1 \leq i \leq k} r_{i} U_{i}^{2} + s bzw. \sum_{1 \leq i \leq k} r_{i} U_{i}^{2} + s U_{k + 1},

wie sie nach Fakt stets erreicht werden kann, kann weiter vereinfacht werden, wobei man allerdings Verzerrungen in Kauf nehmen muss. In den neuen Koordinaten

Z_{i} = \sqrt{| r_{i} |} U_{i}

bzw.

U_{i} = \frac{1}{\sqrt{| r_{i} |}} Z_{i}

für $i = 1, \dots, k$ besitzt die quadratische Form eine Darstellung der Form

\sum_{1 \leq i \leq k} \pm Z_{i}^{2} + s bzw. \sum_{1 \leq i \leq k} \pm Z_{i}^{2} + s Z_{k + 1},

wobei die Vorfaktoren jetzt gleich $1$ oder gleich $- 1$ sind. Man spricht von einer normierten Standardgestalt der quadratischen Form. Durch Vertauschen der Reihenfolge kann man erreichen, dass die ersten Variablen den Vorfaktor $1$ und die hinteren den Vorfaktor $- 1$ besitzen. Bei diesem Übergang erfährt das Nullstellengebilde Verzerrungen, aus einer Ellipse wird beispielsweise ein Kreis gemacht oder eine Parabel wird gestaucht. Da sich das Nullstellengebilde nicht ändert, wenn man die Form mit $- 1$ multipliziert, kann man davon ausgehen, dass die Anzahl des Vorfaktors $1$ mindestens so groß ist wie die Anzahl des Vorfaktors $- 1$ .

Beispiel

Wir betrachten das quadratische Polynom

F = 3 X^{2} - 4 X Y + 5 Y^{2} + 6 X + 2 Y - 7

und möchten es gemäß Fakt auf Standardform bringen. In Beispiel haben wir den rein-quadratischen Anteil $3 X^{2} - 4 X Y + 5 Y^{2}$ mit Hilfe der symmetrischen Matrix

M = (\begin{matrix} 3 & - 2 \\ - 2 & 5 \end{matrix})

untersucht und die Eigenwerte als

x_{1} = \sqrt{5} + 4 und x_{2} = - \sqrt{5} + 4

bestimmt. Um $F$ selbst auf Standardform zu bringen, brauchen wir die Eigenvektoren, und müssen mit ihnen den Variablenwechsel explizit durchführen. Die Eigenvektoren sind

(\begin{matrix} - 2 \\ \sqrt{5} + 1 \end{matrix}) und (\begin{matrix} 2 \\ \sqrt{5} - 1 \end{matrix})

und somit bilden

u = \frac{1}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} (\begin{matrix} - 2 \\ \sqrt{5} + 1 \end{matrix}) und v = \frac{1}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} (\begin{matrix} 2 \\ \sqrt{5} - 1 \end{matrix})

eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Es besteht die Beziehung

(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{- 2}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} \\ \frac{2}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} \end{matrix}) (\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix})

im Sinne von Bemerkung, und mit den neuen Variablen $U, V$ gilt gemäß Fakt die Beziehung

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{- 2}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} & \frac{2}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} \\ \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} & \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} \end{matrix}) (\begin{matrix} U \\ V \end{matrix}) .

Daher ist (für den rein-quadratischen Anteil muss man nichts ausrechnen)

\begin{matrix} F & = 3 X^{2} - 4 X Y + 5 Y^{2} + 6 X + 2 Y - 7 \\ = (\sqrt{5} + 4) U^{2} + (- \sqrt{5} + 4) V^{2} + 6 (\frac{- 2}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} U + \frac{2}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} V) + 2 (\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} U + \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}) V - 7 \\ = (\sqrt{5} + 4) U^{2} + (- \sqrt{5} + 4) V^{2} + \frac{- 10 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} U + \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} V - 7. \end{matrix}

Quadratisches Ergänzen mit

U = W + \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} (\sqrt{5} + 4)}

bzw.

V = Z + \frac{- 5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} (- \sqrt{5} + 4)}

liefert

\begin{matrix} (\sqrt{5} + 4) U^{2} + \frac{- 10 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} U & = (\sqrt{5} + 4) W^{2} + \frac{- 10 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} (\sqrt{5} + 4)} \\ = (\sqrt{5} + 4) W^{2} - \frac{60 - 20 \sqrt{5}}{(10 + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + 4)} \end{matrix}

und

\begin{matrix} (- \sqrt{5} + 4) V^{2} + \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} V & = (- \sqrt{5} + 4) Z^{2} + \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} \cdot \frac{- 5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} (- \sqrt{5} + 4)} \\ = (- \sqrt{5} + 4) Z^{2} - \frac{60 + 20 \sqrt{5}}{(10 - 2 \sqrt{5}) (- \sqrt{5} + 4)} . \end{matrix}

Insgesamt ist

\begin{matrix} F & = (\sqrt{5} + 4) W^{2} + (- \sqrt{5} + 4) Z^{2} - \frac{60 - 20 \sqrt{5}}{(10 + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + 4)} - \frac{60 + 20 \sqrt{5}}{(10 - 2 \sqrt{5}) (- \sqrt{5} + 4)} - 7. \end{matrix}