Invariantentheorie/Galoistheorie/Beziehung für Integritätsbereich/Textabschnitt

Proposition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Der Invariantenring ${}R^{G}$ ist ein Integritätsbereich.
2. Die Operation induziert eine Operation von ${}G$ auf dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ als Gruppe von Körperautomorphismen.
3. Es ist  ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$. 
4. Es ist

   ${}R\cap (Q(R))^{G}=R^{G}\,.$

Beweis

(1) ist wegen  ${}R^{G}\subseteq R$  klar.
(2). Es sei  ${}K=Q(R)$  der Quotientenkörper von ${}R$. Zu jedem  ${}\sigma \in G$  setzt sich der Ringautomorphismus ${}f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus ${}{\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}$ fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper ${}Q{\left(R^{G}\right)}$ hat die Form ${}{\frac {f}{g}}$ mit invarianten Elementen  ${}f,g\in R^{G}$.  Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf ${}K$. Daher gilt  ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$. 
(4). Die Inklusion  ${}R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}$  ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von ${}G$ auf ${}Q(R)$ eingeschränkt auf ${}R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also  ${}f\in R$  ist und aufgefasst in ${}Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.

$\Box$

Bei einer endlichen Gruppe gilt in Fakt  (3) sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

${}Q{\left(R^{G}\right)}=(Q(R))^{G}\,.$

Beweis

Die Inklusion  ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$  gilt nach Fakt  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien ${}f,g\in R$, ${}g\neq 0$, mit  ${}{\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}$  gegeben. Wir betrachten

${}h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.$

Dann gelten in ${}Q(R)$ die Identitäten

${}{\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist  ${}{\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}$. 

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf  ${}R=K[X,Y]$  die Operation von ${}K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Zu  ${}\lambda \in K^{\times }$  gehört also der durch ${}X\mapsto \lambda X,\,Y\mapsto \lambda Y$ gegebene ${}K$-Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist ${}K$, also ein Körper. Der Quotientenkörper von ${}K[X,Y]$ ist der Funktionenkörper ${}K(X,Y)$ in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist ${}K{\left({\frac {X}{Y}}\right)}$, also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also

${}Q{\left(R^{G}\right)}\neq (Q(R))^{G}\,.$

Bemerkung  

Mit Fakt hängt die Invariantentheorie von Integritätsbereichen eng mit der Galoistheorie des Quotientenkörpers zusammen. In der Situation des Satzes ist bei endlichem ${}G$ die Körpererweiterung  ${}K^{G}\subseteq K$  eine Galoiserweiterung, wie aus dem Satz von Artin folgt. ${}K^{G}$ ist ja gerade der Fixring unter den Körperautomorphismen zu ${}G$. Die Untergruppen  ${}H\subseteq G$  liefern Zwischenkörper  ${}K^{G}\subseteq M=K^{H}\subseteq K$  und  ${}M\cap R=R^{H}$  ist der zugehörige Zwischenring (man darf aber nicht erwarten, dass es eine bijektive Korrespondenz zwischen Zwischenringen und Untergruppen gibt). Häufig besitzen Aussagen der Invariantentheorie stärkere Analoga in der Galoistheorie. Zu Fakt  (3) vergleiche man etwa die Rückrichtung von Fakt  (1).

Es gibt aber auch erhebliche Unterschiede zwischen Invariantentheorie und Galoistheorie. Beispielsweise geht man in der klassischen Galoistheorie eher von einem Grundkörper ${}K$ aus und untersucht Körpererweiterungen  ${}K\subseteq L$  zusammen mit der ${}K$-Automorphismengruppe von ${}L$, während man in der klassischen Invariantentheorie eher mit dem Erweiterungsring anfängt und versucht, die Fixringe zu einer gewissen Operation zu bestimmen. Auch in der Invariantentheorie wird häufig ein Grundkörper ${}k$ vorausgesetzt, doch tritt dieser kaum als Invariantenring auf, sondern übernimmt die Rolle, dass alle beteiligten Ringe ${}k$-Algebren über diesem Körper und alle Ringhomomorphismen ${}k$-Algebrahomomorphismen sind. Beispielsweise ist die Bestimmung von Invariantenringen zum Polynomring ${}k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ zu (linearen) Gruppenoperationen schon ein riesiges Teilgebiet der Invariantentheorie.