Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 7

Aufgaben

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und es sei  ${}R\subseteq L$  ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:

1. ${}R$ ist ganz über ${}\mathbb {Z}$.
2. Es ist  ${}Q(R)=L$. 
3. ${}R$ ist normal.

Dann ist ${}R$ der Ring der ganzen Zahlen von ${}L$.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Man gebe Beispiele für Unterringe  ${}R\subseteq L$,  die je zwei der folgenden Eigenschaften erfüllen, aber nicht die dritte.

1. ${}R$ ist ganz über ${}\mathbb {Z}$.
2. Es ist  ${}Q(R)=L$. 
3. ${}R$ ist normal.

Aufgabe

Der abgebildete Graph gehört zu einem normierten ganzzahligen Polynom ${}F$. Kann  ${}R=\mathbb {Z} [X]/(F)$  ein Zahlbereich sein?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es sei  ${}R\subseteq S$  eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei ${}S$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass ${}S$ ebenfalls ein Zahlbereich ist.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen Zahlbereichen  ${}\mathbb {Z} \subseteq S\subseteq R$  und Zwischenkörpern  ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L$. 

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ Zahlbereiche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}R$ und ${}S$ sind isomorph.
2. Es gibt ein  ${}f\in R$  und ein  ${}g\in S$,  beide nicht ${}0$, derart, dass die Nenneraufnahmen ${}R_{f}$ und ${}S_{g}$ zueinander isomorph sind.
3. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ und ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ von ${}S$ derart, dass die Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ und ${}S_{\mathfrak {q}}$ zueinander isomorph sind.
4. Die Quotientenkörper ${}Q(R)$ und ${}Q(S)$ sind isomorph.

In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:

Ein Polynom  ${}F\in \mathbb {Z} [X]$  heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von ${}F$ teilerfremd sind.

Aufgabe

Es sei  ${}F\in \mathbb {Z} [X]$  ein Polynom. Zeige, dass man ${}F$ als  ${}F=n{\tilde {F}}$  mit  ${}n\in \mathbb {N}$  und primitivem ${}{\tilde {F}}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei  ${}F\in \mathbb {Z} [X]$  ein irreduzibles Polynom. Dann ist ${}F$, aufgefasst als Polynom in ${}\mathbb {Q} [X]$, ebenfalls irreduzibel.

Aufgabe

Es seien  ${}F,G\in \mathbb {Z} [X]$  primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt ${}FG$ primitiv ist.

Aufgabe

Es sei  ${}F\in \mathbb {Q} [X]$  ein irreduzibles Polynom mit dem zugehörigen Primideal

${}{\mathfrak {p}}=(F)\in \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Q} [X]\right)}\subseteq \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}\,,$

wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme ${}\mathbb {Z} [X]\rightarrow \mathbb {Q} [X]$ im Sinne von Proposition 5.4  (3) gehört. Zeige, dass der Abschluss von ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}$ gleich ${}V({\mathfrak {a}})$ mit

${}{\mathfrak {a}}={\left\{qF\mid q\in \mathbb {Q} ,\,qF\in \mathbb {Z} [X]\right\}}\,$

ist. Zeige ferner, dass zu isomorphen Restekörpern ${}\kappa ({\mathfrak {p}}_{1})$ und ${}\kappa ({\mathfrak {p}}_{2})$ die Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {a}}_{1}$ und ${}R/{\mathfrak {a}}_{2}$ nicht isomorph sein müssen.

Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${}7x^{2}-4x+5$ in der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-6X^{2}+5X-8\right)}\,.$

Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element ${}7x^{2}+3x-8$ in der kubischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}+9X^{2}-2X+5\right)}\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}p,q$ verschiedene Primzahlen und

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=:L\,$

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element ${}a+b{\sqrt {p}}+c{\sqrt {q}}+d{\sqrt {pq}}\in L$ bezüglich der Basis ${}1,{\sqrt {p}},{\sqrt {q}},{\sqrt {pq}}$.

Aufgabe

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]=L$.  Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${}-4+9{\sqrt {3}}$ bezüglich der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,{\sqrt {3}}$ von ${}L$.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

$L\longrightarrow \operatorname {End} _{K}\,(L),\,f\longmapsto \mu _{f},$

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq M\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Es sei ${}f\in M$ und ${}B$ die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}\colon M\rightarrow M$ bezüglich einer ${}K$- Basis von ${}M$. Zeige, dass bezüglich einer geeigneten ${}K$-Basis von ${}L$ die Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}\colon L\rightarrow L$ durch eine Blockmatrix der Form

${\begin{pmatrix}B&0&\ldots &0\\0&B&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &B\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe

Zeige, dass die Definition Anhang 6.2 der Spur eines Modulhomomorphismus unabhängig von der gewählten Basis des freien Moduls ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times m$-Matrix über ${}K$. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}=\operatorname {Spur} {\left(B\circ A\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die Determinante von ${}M$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$ mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

${}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdot (X-\lambda _{2})^{\mu _{2}}{\cdots }(X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\,.$

Zeige, dass

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei

${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)\,$

eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von ${}M$ die Summe der Eigenwerte ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte die endliche Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-p)\,$

vom Grad ${}3$. Sei  ${}f=aX^{2}+bX+c\in L$  ein Element davon mit  ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$.  Berechne das Minimalpolynom von ${}f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von ${}f$.

Welche Bedingungen an ${}a,b,c$ ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ${}f$ ganz über ${}\mathbb {Z}$ ist?

Aufgabe

Bringe für die Körpererweiterung  ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$  die Konzepte Norm und Spur mit dem Betrag und dem Realteil einer komplexen Zahl in Verbindung.

Aufgabe

Berechne für das Element ${}2+4x+5x^{2}$ in der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

die Norm und die Spur.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq M\subseteq L$  eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen. Zeige, dass für die Normen die Beziehung

${}N_{K}^{L}=N_{K}^{M}\circ N_{M}^{L}\,$

gilt.

Aufgabe *

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\,$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${}1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Aufgabe

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(3)\subseteq \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}\,$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${}1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Aufgabe *

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und ${}f\in L$. Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der ${}K$- linearen Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L$

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}P=X^{n}-c\in K[X]$  ein irreduzibles Polynom. Es sei

${}f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung  ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$ 

vom Grad ${}n$. Zeige, dass die Spur von ${}f$ gleich ${}na_{0}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei

${}L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-p\right)}\,$

der durch das irreduzible Polynom ${}X^{3}-p$ definierte Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$. Es sei

${}f=2+3x-4x^{2}\,.$

a) Finde die Matrix bezüglich der ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}1,x,x^{2}$ von ${}L$ der durch die Multiplikation mit ${}f$ definierten ${}\mathbb {Q}$-linearen Abbildung.

b) Berechne die Norm und die Spur von ${}f$.

c) Bestimme das Minimalpolynom von ${}f$.

d) Finde das Inverse von ${}f$.

e) Berechne die Diskriminante der Basis ${}1,f,f^{2}$.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, ${}f\in L$ und  ${}M=K[f]$.  Zeige, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L$

eine Potenz des Minimalpolynoms von ${}f$ ist.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei

$\rho \colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass für jeden Körperautomorphismus

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

auch ${}\rho \circ \varphi$ ein Ringhomomorphismus nach ${}{\mathbb {C} }$ ist, und dass daher die Galoisgruppe von ${}L$ auf der Menge der komplexen Einbettungen von ${}L$ operiert.

Aufgabe

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass genau dann eine Galoiserweiterung vorliegt, wenn die Bildkörper unter allen komplexen Einbettungen von ${}L$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}F\in K[X]$  und  ${}a\in K$.  Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn  ${}F'(a)=0$  ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.