Kurs:Analysis/Teil I/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 1 4 2 2 2 1 2 4 4 2 3 5 4 7 4 4 2 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Ein archimedisch angeordneter Körper .
  3. Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion .
  5. Ein Wendepunkt einer Funktion auf einem Intervall .
  6. Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge zu einer Funktion


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.
  3. Es sei eine Folge in . Ein Element heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
  4. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.

  5. Ein innerer Punkt heißt Wendepunkt von , wenn es ein derart gibt, dass auf konvex (konkav) und auf konkav (konvex) ist.
  6. Man nennt

    das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  3. Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion zu einer bijektiven differenzierbaren Funktion


Lösung

  1. Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Dann besteht der Durchschnitt
    aus genau einem Punkt .
  2. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
  3. Zu mit ist auch die Umkehrfunktion in differenzierbar mit


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt „Wir haben in dem Spiel nichts zu verlieren“. Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt „Wenn die Wildberger in dem Spiel nichts zu verlieren haben, dann haben auch die Münchner in dem Spiel nichts zu gewinnen“. Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt „Wir haben in dem Spiel etwas zu gewinnen“.

  1. Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt?
  2. Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen?


Lösung

  1. Die Aussage ist logisch korrekt.
  2. Die Kontraposition der korrekten Aussage aus Teil (1) ist: Wenn die Münchner in dem Spiel etwas zu gewinnen haben, dann haben die Wildberger in dem Spiel etwas zu verlieren. Da der Vordersatz, der die Aussage des Bayerntrainers ist, vorausgesetzt werden soll, so folgt mit Modus ponens, dass die Wildberger in dem Spiel etwas zu verlieren haben. Dies steht im Widerspruch zur Aussage des Trainers von Wildberg, seine Aussage ist also falsch.


Aufgabe (1 Punkt)

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?


Lösung

Vorvorvorvorvorvorgestern.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Ist injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?


Lösung

Die Abbildung ist bijektiv und damit auch injektiv und surjektiv. Wir geben explizit eine Umkehrabbildung an, wir definieren

Für gerade ist

und für ungerade ist

Umgekehrt ist für bei

und bei


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Lösung

Wegen der ersten Voraussetzung gilt . Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch . Deshalb gilt auch . Deshalb gilt auch . Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage für jede natürliche Zahl .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Körper zu jedem Element das Element mit eindeutig bestimmt ist.


Lösung

Es sei mit vorgegeben. Es seien und Elemente mit . Dann ist

Also ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.


Lösung

Der binomische Lehrsatz besagt

Wir setzen . Dann ergibt sich auf der linken Seite

und auf der rechten Seite einfach .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Lösung

Es soll einerseits

und andererseits

sein. Wegen

ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Die Folge sei durch

definiert.

  1. Bestimme und .
  2. Konvergiert die Folge in ?


Lösung

  1. Es ist , da keine Primzahl ist, und , da eine Primzahl ist.
  2. Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert und unendlich oft den Wert annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen (beispielsweise die geraden Zahlen ) gibt, die keine Primzahlen sind.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert .

  1. Berechne und .
  2. Berechne und .
  3. Berechne und .
  4. Konvergiert die Produktfolge innerhalb der rationalen Zahlen?


Lösung

  1. Es ist

    und

  2. Es ist

    und

  3. Es ist

    und

  4. Die Heron-Folge konvergiert in gegen und die Heron-Folge konvergiert in gegen , daher konvergiert die Produktfolge gegen . Da dies zu gehört, konvergiert die Produktfolge auch in .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Lösung

Es ist

Bei ist somit

und bei ist

Daher ist stets

Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen  und derart, dass

für und

für gilt. Für gilt daher

Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den folgenden Funktionslimes


Lösung

Mit der Regel von Hospital ist


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche die beiden Zahlen


Lösung

Wegen

ist

also ist

Somit ist

und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als ist daher


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung


Lösung

Für ist nach der Kettenregel

Zum Induktionsschluss sei die Aussage für Funktionen schon bewiesen, und seien Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Zeige, dass eine ungerade Funktion im Nullpunkt ein globales Extremum haben kann.
  2. Zeige, dass eine ungerade Funktion im Nullpunkt kein isoliertes lokales Extremum haben kann.


Lösung

  1. Die Nullfunktion ist ungerade und besitzt im Nullpunkt ein globales Maximum, das gleichzeitig globales Minimum ist.
  2. Es sei ungerade, es gilt also , für alle . Dann ist insbesondere , also . Nehmen wir an, dass im Nullpunkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt. Das bedeutet, dass es ein derart gibt, dass

    für alle gilt. Für diese ist aber auch und es ergibt sich direkt der Widerspruch


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion .


Lösung

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn wachsend ist, und ist, so gilt für den Differenzenquotienten

für jedes mit . Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für , und dieser ist .
Es sei umgekehrt die Ableitung .    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte in mit gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein mit mit

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre für zwei Punkte . Da nach dem ersten Teil wachsend ist, ist auf dem Intervall konstant. Somit ist auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass nur endlich viele Nullstellen besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Bestimme die Extrema von


Lösung

Es ist

Die Bedingung

ist äquivalent zu

und zu

Dies ist äquivalent zu

und schließlich zu

In diesem Punkt wird das globale Minimum angenommen, da sowohl für als auch für gegen strebt.


Aufgabe (4 Punkte)

Der Graph des quadratischen Polynoms

und die -Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.


Lösung

Die Nullstellen des Polynoms sind

Das bestimmte Integral zwischen diesen Grenzen ist

Der Flächeninhalt ist also


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Es ist

daher ist eine Stammfunktion des Tangens auf .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche Lösungen der Differentialgleichung zweiter Ordnung


Lösung

Wir schreiben

diese Funktion erfüllt dann die Differentialgleichung erster Ordnung

Die Lösungen dazu sind nach Satz 29.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gleich

mit einer Konstanten . Die Stammfunktionen zu sind die Funktionen