Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 14/kontrolle
- Übungsaufgaben
Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.
Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
Es sei ein reelles Intervall und
eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.
Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion
derart, dass keine stetige Fortsetzung
existiert.
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.
Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch
definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Führe die Details im Beweis zu Lemma 14.9 für den Fall aus.
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
und Werte gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung
die auf jedem Teilintervall durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte und durch eine gerade Strecke verbindet.
Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion
approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man nimmt.
Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
und Werte gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.
Es sei
eine stetige Funktion , die die Gleichung
für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.
In den folgenden Aufgaben bedeutet die Menge der stetigen Funktionen von nach (für eine Teilmenge ) und den abgeschlossenen Vollkreis in mit Mittelpunkt und Radius (die Randpunkte gehören also dazu).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf abgebildet. Zeige, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine stetige unbeschränkte Funktion
Zeige, dass eine solche Funktion keine stetige Fortsetzung auf besitzt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein reelles Intervall und
eine Funktion. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem gibt es eine Unterteilung
derart, dass die lineare Interpolation (zu dieser Unterteilung und zu ) die Eigenschaft
erfüllt.
(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen (gemessen in vertikaler Richtung) Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)
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