Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 49

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion


im Nullpunkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in oder Variablen für die Grade .


Aufgabe

Es sei

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.


Aufgabe

Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Zeige, dass mit dem Taylor-Polynom vom Grad von im Nullpunkt übereinstimmt.


In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Sei und ein -Tupel natürlicher Zahlen. Es sei . Dann nennt man die Zahl

einen Polynomialkoeffizienten.


Aufgabe

In einem Studium werden Leistungsnachweise verlangt, und zwar Seminarscheine, Klausuren, mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?


Aufgabe

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

bei denen das Urbild zu aus genau Elementen besteht, gleich

ist.


Aufgabe

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der -Tupel

in denen die Zahl genau -mal vorkommt, gleich

ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der (geordneten) Partitionen zum Anzahltupel einer -elementigen Menge gleich

ist.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung


Aufgabe *

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt im Punkt vom Grad nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von und in vom Grad sein muss.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion


im Nullpunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien

zwei -mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen und in vom Grad . Zeige, dass das Produkt ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom von in vom Grad die Beziehung

besteht, wobei der Subskript bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad genommen wird.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei offen, ein Punkt und

eine Funktion. Sei . Zeige, dass es maximal ein Polynom vom Grad mit der Eigenschaft geben kann, dass

gilt.



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