Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $\le 3$ für die Funktion

${ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^2-y\cdot \sin x,$

im Nullpunkt $(0,0)$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼f(x,y)=e^{x-y^2},$

im Punkt $(1,1)$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f:{ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼f(x,y,z)=e^{x}y{z}^2-xy,$

im Punkt $(1,0,-1)$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼f(x,y)=e^{\sin x-\cos y},$

im Punkt $(0,\frac{\pi }{2})$.

Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in $2$ oder $3$ Variablen für die Grade $k=1,2,3$.

Aufgabe

Es sei

$f(x,y)=x^{2}y-3xy+5y^2+4x.$

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ im Punkt $P=(1,-2)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen $u=x-1,v=y+2$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.

Aufgabe

Es sei $f$ ein Polynom in $n$ Variablen vom Grad $\le k$. Zeige, dass $f$ mit dem Taylor-Polynom vom Grad $\le k$ von $f$ im Nullpunkt übereinstimmt.

In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Es sei  $n\in \mathbb{N}$  und  $r=(r_1,\dots ,r_n)$  ein $n$-Tupel natürlicher Zahlen. Es sei $k:=\sum _{j=1}^n{r}_j$. Dann nennt man die Zahl

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r})=\frac{k!}{r_1!r_2!\cdots r_n!}$

einen Polynomialkoeffizienten.

Aufgabe

In einem Studium werden $11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar $3$ Seminarscheine, $5$ Klausuren, $2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?

Aufgabe

Es seien  $n,k\in \mathbb{N}$  und  $r=(r_1,\dots ,r_k)$  mit  $\sum _{j=1}^k{r}_j=n$.  Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

$\{1,\dots ,n\}⟶\{1,\dots ,k\},$

bei denen das Urbild zu  $j\in \{1,\dots ,k\}$  aus genau $r_j$ Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}$

ist.

Aufgabe

Es seien  $k,n\in \mathbb{N}$  und  $r=(r_1,\dots ,r_n)$  mit  $\sum _{j=1}^k{r}_j=n$.  Zeige, dass die Anzahl der $n$-Tupel

$(j_1,\dots ,j_n)\in \{1,\dots ,k{\}}^n,$

in denen die Zahl $j$ genau $r_j$-mal vorkommt, gleich

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel  $r=(r_1,\dots ,r_k)$  einer $n$-elementigen Menge gleich

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}$

ist.

Aufgabe

Es seien $a_1,\dots ,a_n$ reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung

$(a_1+\cdots +a_n{)}^k=\sum _{r=(r_1,\dots ,r_n),\sum _{i=1}^n{r}_i=k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r})a_1^{r_1}{a}_2^{r_2}\cdots a_n^{r_n}.$

Aufgabe *

Es sei

$f:G⟶ℝ$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei $G\subseteq {ℝ}^n$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für $P\in G$ und $v\in V$ die Beziehung

$\sum _{r\in {\mathbb{N}}^n,|r|=2}\frac{1}{r!}{D}^{r}f(P)\cdot v^r=\frac{1}{2}{\mathrm{Hess}}_{P}f(v,v)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ und seien

$f,g:G⟶ℝ$

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt $fg$ im Punkt $P$ vom Grad $\le 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von $f$ und $g$ in $P$ vom Grad $\le 1$ sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $\le 3$ für die Funktion

${ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼z\cdot \exp (xy),$

im Nullpunkt $(0,0,0)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f(x,y)=-2x{y}^3-5x^2{y}^2+4x{y}^2-7y+3.$

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ im Punkt $P=(-3,4)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen $u=x+3,v=y-4$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ offen, $P\in G$ und seien

$f,g:G⟶ℝ$

zwei $k$-mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen $T_k(f)$ und $T_k(g)$ in $P$ vom Grad $\le k$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom $T_k(fg)$ von $fg$ in $P$ vom Grad $\le k$ die Beziehung

$T_k(fg)=(T_k(f)\cdot T_k(g){)}_{\le k}$

besteht, wobei der Subskript $\le k$ bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad $k$ genommen wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $G\subseteq {ℝ}^n$  offen,  $P\in G$  ein Punkt und

$f:G⟶ℝ$

eine Funktion. Sei  $k\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass es maximal ein Polynom $p(x_1,\dots ,x_n)$ vom Grad $\le k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass

${\lim }_{x\to 0}\frac{\Vert f(x)-p(x)\Vert }{\Vert x{\Vert }^k}=0$

gilt.