Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 49

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Die Taylor-Formel - Vorbereitungen

Ein Polynom in Variablen,

(wobei die Summe endlich ist) lässt sich entlang des Grades des Exponententupels, also

anordnen, also

Für jedes kann man dies auch schreiben als

mit ()

Für gilt dabei

Bei ist

die lineare Approximation von im Punkt , und dabei gilt für die Abweichung in der linearen Approximation die Beziehung . Im Allgemeinen liefern die Polynome bessere Approximationen im Nullpunkt als die lineare Approxmation, und mit kann man die Abweichung kontrollieren. Entscheidend für uns ist, dass man nicht nur für Polynomfunktionen, sondern generell für hinreichend oft differenzierbare Funktionen approximierende Polynome finden und die Abweichung gut kontrollieren kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Formel für Funktionen in mehreren Variablen.

Zu einem Vektor und einem Tupel aus natürlichen Zahlen setzt man abkürzend

Entsprechend schreibt man für eine Polynomfunktion abkürzend

Die gleiche Abkürzungsphilosophie übernimmt man für Richtungsableitungen. Wenn ein -Vektorraum ist mit einer Basis , so setzt man ,und für setzt man

Diese Bezeichnung verwendet man insbesondere im , versehen mit der Standardbasis und den partiellen Ableitungen. Man beachte, dass man aufgrund des Satzes von Schwarz unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sämtliche Reihenfolgen von Richtungsableitungen in dieser Weise ausdrücken kann. Des weiteren definieren wir für ein Tupel die Fakultät durch

und bei die Polynomialkoeffizienten durch

Bevor wir die Taylor-Formel beweisen, die das lokale Verhalten einer Funktion in einer „kleinen“ offenen Ballumgebung eines Punktes beschreibt, wenden wir uns dem lokalen Verhalten in dem Punkt längs einer fixierten Richtung zu, wofür wir die Taylor-Formel in einer Variablen zur Verfügung haben. Zu einer Funktion (, endlichdimensionaler reeller Vektorraum)

ist die Differenzierbarkeit im Punkt in Richtung äquivalent zur Differenzierbarkeit der Funktion

für , wobei ein geeignetes reelles Intervall ist. Wir werden zunächst zeigen, dass eine entsprechende Beziehung auch für höhere Ableitungen gilt.



Satz  

Sei offen,

eine -mal

stetig differenzierbare Funktion, ein Punkt und eine fixierte Richtung. Es sei

wobei ein offenes Intervall um sei mit für alle .

Dann ist ebenfalls -mal stetig differenzierbar, und es gilt

für alle .

Beweis  

Wir zeigen durch Induktion über , dass

gilt. Hier wird also über jede Richtungsreihenfolge der Länge aufsummiert, später werden wir unter Verwendung des Satzes von Schwarz gleiche Summanden zusammenfassen. Für ist

  

Der Induktionsschluss ergibt sich aus

 

Aufgrund des Satzes von Schwarz kommt es nicht auf die Reihenfolge der Richtungableitungen an, d.h. zwei Summanden in der obigen Summe stimmen überein, wenn darin die jeweiligen Richtungsableitungen gleichhäufig vorkommen. Die Anzahl der Tupel in , bei denen die Zahl genau -mal vorkommt, wird durch die Polynomialkoeffizienten

beschrieben. Daraus ergibt sich die Behauptung.



Definition  

Es sei eine offene Teilmenge,

eine -mal stetig-differenzierbare Funktion und . Dann heißt

das Taylor-Polynom vom Grad zu in .

Es liegt also ein Polynom in den (verschobenen) Variablen vor. Wenn ist, so schreibt man meistens statt , wobei die die Standardkoordinaten des bezeichnen. Man spricht auch vom Taylor-Polynom der Ordnung oder einfach vom -ten Taylor-Polynom.

Das -teTaylor-Polynom ist das konstante Polynom, das durch den Funktionswert gegeben ist, das -teTaylor-Polynom ist die lineare Approximation von in und das -teTaylor-Polynom ist die quadratische Approximation von in .

Bemerkung  

Ein Polynom vom Grad stimmt mit seinem Taylor-Polynom vom Grad im Nullpunkt überein. Wegen der Additivität der Richtungsableitungen muss man dies nur für überprüfen. Es ist aber

und

für jedes -Tupel .

Wenn man zu einem Polynom die Taylor-Polynome in einem Punkt berechnen möchte, so kann man (neben der Berechnung der Ableitungen) auch folgendermaßen vorgehen: Man schreibt das Polynom in den Variablen . Dazu ersetzt man in die Variablen durch

und rechnet dies aus, bis ein Polynom in dasteht. Aus diesem Polynom sind die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt direkt ablesbar.



Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

und wollen die Taylor-Polynome bis zur Ordnung dazu im Nullpunkt berechnen. Das Taylor-Polynom der Ordnung ist das konstante Nullpolynom, da ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung müssen wir die beiden partiellen Ableitungen ausrechnen. Diese sind

mit den Werten  und . Daher ist die lineare Approximation zu , also das Taylor-Polynom der Ordnung . Für das Taylor-Polynom der Ordnung berechnen wir die zweiten Ableitungen, diese sind

und

Die Werte dieser zweiten partiellen Ableitungen sind , sodass das zweite Taylor-Polynom (also die quadratische Approximation) gleich

ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung berechnen wir die dritten Ableitungen, diese sind

und

Die Werte dieser dritten partiellen Ableitungen sind , sodass (wegen und ) das dritte Taylor-Polynom gleich

ist.




Satz  

Sei offen,

eine -mal

stetig differenzierbare Funktion, ein Punkt und derart, dass die Strecke von nach ganz in liegt. Dann gibt es ein mit

Beweis  

Die Funktion

(mit einem geeigneten ) ist nach Satz 49.1 -mal differenzierbar. Aufgrund der Taylor-Formel für eine Variable gibt es ein [1] mit

Wir drücken die einzelnen Summanden mit Hilfe von Satz 49.1 aus und erhalten




Die Taylor-Formel



Satz  

Sei offen,

eine -mal

stetig differenzierbare Funktion, ein Punkt und derart, dass ist.

Dann gilt für alle mit die Beziehung

wobei

ist.

Beweis  

Nach Satz 49.3 gibt es zu jedem ein (von abhängiges) mit

Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion , die wir abschätzen müssen. Wegen

ist

Da nach Voraussetzung die -ten Richtungsableitungen stetig sind, existiert für jede einzelne Funktion der Limes für und ist gleich . Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.




Fußnoten
  1. Der Beweis der Taylor-Formel für eine Variable zeigt, dass zwischen den beiden beteiligten Punkten gewählt werden kann.


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