Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 50

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Aufgabe *

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe *

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion


Aufgabe

Bestimme für die Funktion

den maximalen Definitionsbereich und untersuche die Funktion auf Extrema.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, , offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

eine Funktion und betrachte

Zeige, dass allenfalls im Nullpunkt ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion und es sei ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung derart, dass ist für alle , . Zeige, dass dann in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.



<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)