Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 52
- Übungsaufgaben
Mit diffeomorph ist im Folgenden stets -diffeomorph gemeint.
Aufgabe
Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen und einer offenen Kugel .
Aufgabe
Zeige, dass eine offene Kreisscheibe () und ein offenes Rechteck () diffeomorph sind.
Aufgabe
Bestimme die regulären Punkte der Abbildung
Zeige, dass in regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von in , wobei eine offene Umgebung von sei (die nicht explizit angegeben werden muss).
Aufgabe *
Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung
an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.
Aufgabe
Es seien euklidische Vektorräume und seien und differenzierbare Abbildungen. Es sei regulär in und regulär in . Ist dann regulär in ? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?
Aufgabe
Das komplexe Quadrieren
kann man reell als
schreiben. Untersuche auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist umkehrbar?
Aufgabe
Finde möglichst große offene Teilmengen und derart, dass die Abbildung
einen Diffeomorphismus von nach induziert.
Aufgabe *
Wir betrachten die Abbildung
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .
b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .
c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.
Aufgabe
Es seien und Punkte in der Ebene . Zeige, dass die beiden offenen Mengen und zueinander diffeomorph sind.
Aufgabe
Aufgabe
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (7 Punkte)
Betrachte die Abbildung
- Bestimme die regulären Punkte von .
- Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
- Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar als schreiben?
- Ist ein reelles Zahlenpaar bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe und das Produkt festgelegt?
Aufgabe (5 Punkte)
Betrachte die Abbildung
Zeige, dass ein Punkt genau dann ein kritischer Punkt von ist, wenn in zwei Zahlen doppelt vorkommen.
Aufgabe (5 Punkte)
Betrachte die Abbildung
Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen derart an, dass
ein Diffeomorphismus ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und offene Teilmengen mit und es sei
ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen und induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von auf nach ein Diffeomorphismus ist.
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