Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 52

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Übungsaufgaben

Mit diffeomorph ist im Folgenden stets -diffeomorph gemeint.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen und einer offenen Kugel .


Aufgabe

Zeige, dass eine offene Kreisscheibe () und ein offenes Rechteck () diffeomorph sind.


Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

Zeige, dass in regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von in , wobei eine offene Umgebung von sei (die nicht explizit angegeben werden muss).


Aufgabe *

Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.


Aufgabe

Seien euklidische Vektorräume und seien und differenzierbare Abbildungen. Es sei regulär in und regulär in . Ist dann regulär in ? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?


Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

kann man reell als

schreiben. Untersuche auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist umkehrbar?


Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen und derart, dass die Abbildung

einen Diffeomorphismus von nach induziert.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .

b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .

c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.


Aufgabe

Es seien und Punkte in der Ebene . Zeige, dass die beiden offenen Mengen und zueinander diffeomorph sind.


Aufgabe

Es sei

und

Zeige, dass und zueinander diffeomorph sind.


Aufgabe

Es sei

und

Zeige, dass und zueinander nicht homöomorph sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Abbildung

  1. Bestimme die regulären Punkte von .
  2. Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
  3. Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar als schreiben?
  4. Ist ein reelles Zahlenpaar bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe und das Produkt festgelegt?


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein kritischer Punkt von ist, wenn in zwei Zahlen doppelt vorkommen.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen derart an, dass

ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und offene Teilmengen mit und es sei

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen und induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von auf nach ein Diffeomorphismus ist.


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