Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

mit einer stetigen Umkehrabbildung ${}\psi$ derart, dass ${}\psi$ nicht differenzierbar ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+f(x)),$

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn ${}f$ differenzierbar ist?

Aufgabe

Es seien

$f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})),$

Zeige:

1. Die Abbildung ${}f$ ist differenzierbar.
2. Das totale Differential von ${}f$ in ${}0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen ${}f_{i},\,i=1,\ldots ,n$, die Ableitungen in ${}0$ nicht ${}0$ sind.
3. ${}f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von ${}0$ bijektiv, wenn die einzelnen ${}f_{i}$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+},\,(x,y)\longmapsto (x,e^{x+y}),$

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.

Im Beweis des Umkehrsatzes wurde mit folgender Definition gearbeitet.

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,$

die Norm von ${}\varphi$.

Aufgabe

Begründe, warum die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen wohldefiniert ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor ${}v\in V$, ${}\Vert {v}\Vert =1$, mit

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\varphi }\Vert \,$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen folgende Eigenschaften erfüllt.

1. Es ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \cdot \Vert {v}\Vert$.
2. Es ist ${}\Vert {\varphi }\Vert =0$ genau dann, wenn ${}\varphi =0$ ist.
3. Es ist ${}\Vert {c\varphi }\Vert =\vert {c}\vert \cdot \Vert {\varphi }\Vert$.
4. Es ist ${}\Vert {\varphi _{1}+\varphi _{2}}\Vert \leq \Vert {\varphi _{1}}\Vert +\Vert {\varphi _{2}}\Vert$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in \mathbb {R}$ ein Eigenwert von ${}\varphi$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\vert {\lambda }\vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von ${}\varphi$ existiert. Zeige, dass

${}\Vert {\varphi }\Vert ={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$

eine lineare Abbildung ${}\neq 0$. Bestimme einen Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}1$, an dem die Funktion

$B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \vert {\varphi (v)}\vert ,$

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von ${}\varphi$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Lemma 51.2 ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.

(Tipp: Man denke daran, wie man flach auf einen steilen Berg kommt.)

Aufgabe (2 Punkte)

Seien ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offene Mengen in euklidischen Vektorräumen ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es sei

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt ${}P\in U_{1}$ differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in ${}Q=\varphi (P)$ auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}G\subseteq V_{1}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}U\subseteq G$ eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt ${}P\in U$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild ${}\varphi (U)$ offen in ${}V_{2}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y).$