Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 52

Diffeomorphismen

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien $V_1$ und $V_2$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und $U_1\subseteq V_1$ und $U_2\subseteq V_2$ offene Teilmengen. Eine Abbildung

$\phi :U_1⟶U_2$

heißt $C^k$-Diffeomorphismus, wenn $\phi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

${\phi }^{-1}:U_2⟶U_1$

ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit besagt also, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit invertierbarem totalen Differential lokal (!) ein $C^1$-Diffeomorphismus ist (es gibt auch $C^k$-Versionen von diesem Satz). Zwei offene Mengen $U_1$ und $U_2$ heißen $C^k$-diffeomorph, wenn es einen $C^k$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt. In dieser Vorlesung werden wir uns auf $C^1$-Diffeomorphismen beschränken.

Der Rang einer linearen Abbildung

$L:V⟶W$

ist definiert als die Dimension des Bildraumes $L(V)$. Mit diesem Begriff können wir die Regularität einer Abbildung in einem Punkt allgemein definieren.

Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei  $G\subseteq V$  offen, sei  $P\in G$  und sei

$\phi :G⟶W$

eine in $P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt $P$ ein regulärer Punkt von $\phi$, wenn

$\mathrm{rang}{\left(D\phi \right)}_P=min({\dim }_{}\left(V\right),{\dim }_{}\left(W\right))$

ist. Andernfalls heißt $P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

Bemerkung  

Eine differenzierbare Abbildung $\phi :G\to W$ ist genau dann regulär in einem Punkt  $P\in G$,  wenn das totale Differential ${\left(D\phi \right)}_P$ den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Satz Anhang.5 und nach Satz Anhang.7 gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.

Bei  ${\dim }_{}\left(W\right)=1$  ist $P$ ein regulärer Punkt genau dann, wenn ${\left(D\phi \right)}_P$ nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition 47.12 überein. Bei  ${\dim }_{}\left(V\right)=1$  bedeutet die Regularität wiederum, dass  ${\left(D\phi \right)}_P\ne 0$  ist. Generell bedeutet bei  ${\dim }_{}\left(V\right)\le {\dim }_{}\left(W\right)$  die Regularität, dass ${\left(D\phi \right)}_P$ injektiv ist, und bei  ${\dim }_{}\left(V\right)\ge {\dim }_{}\left(W\right)$  bedeutet die Regularität, dass ${\left(D\phi \right)}_P$ surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei  ${\dim }_{}\left(V\right)={\dim }_{}\left(W\right)$  die Regularität in $P$, dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x^2-y,x+xy).$

Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt  $P=(x,y)$  ist

$\left(\begin{array}{cc}2x& -1\\ 1+y& x\end{array}\right).$

Die Determinante davon ist

$2x^2+1+y,$

sodass die Bedingung

$y\ne -2x^2-1$

die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt $(0,0)$ liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, sodass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen $U_1$ und $U_2$ von $(0,0)$ derart, dass die eingeschränkte Abbildung

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2$

bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).

Wie groß kann dabei $U_1$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen $U((0,0),r)$. Bei  $r>1$  enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form

$(\pm x,-1).$

Diese werden unter $\phi$ auf

$\phi (\pm x,-1)=(x^2-(-1),x+x(-1))=(x^2+1,0)$

abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.

Betrachten wir hingegen

$U_1=U((0,0),1)$

und

$U_2:=\phi \left(U_1\right).$

Da $U_1$ keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe 51.14 das Bild $U_2$ offen. Die eingeschränkte Abbildung $\phi {|}_{U_1}:U_1\to U_2$ ist nach Definition von $U_2$ surjektiv, sodass nur die Injektivität zu untersuchen ist.

Das Gleichungssystem

$x^2-y=u\text{ und }x+xy=v$

führt auf

$y=x^2-u$

und auf

$x(1+x^2-u)=x^3+(1-u)x=v.$

Seien $(x,y)$ und $(\tilde{x},\tilde{y})$ aus $U((0,0),1)$ mit

$\phi (x,y)=\phi (\tilde{x},\tilde{y})$

gegeben. Dann ist

$x^3+(1-u)x=v={\tilde{x}}^3+(1-u)\tilde{x}$

und somit

$0=x^3-{\tilde{x}}^3+(1-u)(x-\tilde{x})=(x-\tilde{x})(x^2+x\tilde{x}+{\tilde{x}}^2+1-u).$

Bei  $x=\tilde{x}$  folgt direkt  $y=\tilde{y}$.  Bei  $x\ne \tilde{x}$  muss

$x^2+x\tilde{x}+{\tilde{x}}^2+1-u=0$

sein. Dies bedeutet  $y=x^2-u=-x\tilde{x}-{\tilde{x}}^2-1$  und ebenso  $\tilde{y}=-x\tilde{x}-x^2-1$.  Wegen

$x(y+1)=v$

und  $y+1>0$  müssen $x$ und $v$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch $x$ und $\tilde{x}$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber

$y=-x\tilde{x}-{\tilde{x}}^2-1\le -1,$

sodass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius $1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann. Mit  $U_1=U((0,0),1)$  liegt also eine Bijektion $U_1\to U_2$ vor.

Wir haben schon für die komplexen Zahlen Polarkoordinaten verwendet, siehe Satz 21.6. Hier besprechen wir Polarkoordinaten in Hinblick auf lokale Umkehrbarkeit.

Beispiel

Die Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(r,\alpha )⟼(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ),$

heißt Polarkoordinatenauswertung. Sie ordnet einem Radius $r$ und einem Winkel $\alpha$ (wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein) denjenigen Punkt der Ebene (in kartesischen Koordinaten) zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels (gemessen von der $x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn) die Strecke $r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt $(r,\alpha )$ stetig differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

$\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -r\sin \alpha \\ \sin \alpha & r\cos \alpha \end{array}\right).$

Diese Abbildung ist nicht injektiv, da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel $\alpha$, periodisch mit der Periode $2\pi$ ist. Bei  $r=0$  ist - unabhängig von $\alpha$ - das Bild gleich $(0,0)$. Ferner ist  $\phi (-r,\alpha +\pi )=\phi (r,\alpha )$.  Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.

Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

$r({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )=r.$

Bei  $r\ne 0$  liegt also nach Satz Anhang C.10 ein bijektives totales Differential vor. Nach dem Satz über die lokale Umkehrabbildung gibt es zu jedem Punkt $(r,\alpha )$ mit  $r\ne 0$  eine offene Umgebung  $(r,\alpha )\in U_1$  und eine bijektive Abbildung

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2=\phi (U_1).$

Bei  $r>0$  kann man beispielsweise als offene Umgebung das offene Rechteck

$U_1=]r-\delta ,r+\delta [\times ]\alpha -ϵ,\alpha +ϵ[$

mit  $r>\delta >0$  und mit  $\pi >ϵ>0$  wählen. Das Bild davon, also $U_2$, ist der Schnitt des (offenen) Kreisringes zu den Radien $r-\delta$ und $r+\delta$ und dem (offenen) Kreissektor, der durch die beiden Winkel $\alpha -ϵ$ und $\alpha +ϵ$ begrenzt ist.

Man kann diese Abbildung zu einer bijektiven Abbildung, und zwar zu einem Diffeomorphismus, auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu

${ℝ}_{+}\times ]-\pi ,\pi [⟶{ℝ}^2\setminus \{(x,0)\mid x\le 0\},(r,\alpha )⟼(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ).$

Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen, siehe insbesondere Satz 21.3. Wenn man das offene Intervall $]-\pi ,\pi [$ durch das halboffene Intervall $]-\pi ,\pi ]$ ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen ${ℝ}_{+}\times ]-\pi ,\pi ]$ und ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$. Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal stetig.

Beispiel

Die Abbildung

${ℝ}^3⟶{ℝ}^3,(r,\theta ,\phi )⟼(r\cos \phi \sin \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \theta ),$

(bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie ${ℝ}_{\ge 0}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$) nennt man Kugelkoordinatenauswertung. Diese Abbildung bildet die Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\phi )$ auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten $(x,y,z)$ ab.

Die Bedeutung der Kugelkoordinaten ist folgendermaßen: $r$ ist der Abstand von $(x,y,z)$ zum Nullpunkt. Bei  $r=1$  definieren die beiden Winkel $\phi$ und $\theta$ einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt $\phi$ einen Punkt auf dem Einheitskreis in der $x-y$-Ebene (auf dem Äquator) und $\theta$ bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis (der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist), wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für ($r=1$ und) einen festen Winkel $\theta$ parametrisiert $\phi$ einen Breitenkreis, wobei  $\theta =\frac{\pi }{2}$  den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel $\phi$ hingegen parametrisiert $\theta$ den oben angesprochenen Halbkreis, einen Längenkreis. In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ (statt $+$ und $-$ spricht man von nördlicher und südlicher Breite) und nimmt $-\sin \theta$.

Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

$\left(\begin{array}{ccc}\cos \phi \sin \theta & r\cos \phi \cos \theta & -r\sin \phi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & r\sin \phi \cos \theta & r\cos \phi \sin \theta \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right)$

und die Determinante davon ist

$r^2\sin \theta .$

D.h. bei  $r\ne 0$  und  $\theta \notin \mathbb{Z}\pi$  ist das totale Differential invertierbar und daher liegt nach Satz 51.3 ein lokaler Diffeomorphismus vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen ${ℝ}_{+}\times ]0,\pi [\times [0,2\pi [$ und ${ℝ}^3\setminus \{(0,0,z)\mid z\in ℝ\}$ vorliegt.

Fußnoten

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