Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 64

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass ein äußeres Maß die Subadditivitätseigenschaft für beliebige abzählbare Vereinigungen besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass es für jedes eine Familie , , von positiven reellen Zahlen mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Zeige, dass für jede Teilmenge die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Welche „vertrauten geometrischen Figuren“ kann man als (verallgemeinerte) Quader in oder in auffassen?


Aufgabe

Es sei eine abzählbare Menge. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Volumina der beteiligten offenen Intervall-Quader zu Überpflasterungen von aus solchen Quadern gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

eine messbare Teilmenge im Produktraum ist.


Aufgabe

Es seien  und zwei Mengen und sei eine Teilmenge. Zu sei . Zeige, dass die Faser der Hintereinanderschaltung

über ist.


Aufgabe

Es seien  und zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von seien mit der durch induzierten -Algebra versehen. Es sei . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist eine messbare Teilmenge von .
  2. Es gibt ein derart, dass messbar ist.
  3. Für alle ist messbar.
  4. Es gibt ein derart, dass messbar in ist.
  5. Für alle ist messbar in .


Aufgabe

Es seien Messräume und es seien und messbare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

messbar ist.


Aufgabe

Es seien und zwei topologische Räume mit abzählbarer Topologie und mit den zugehörigen -Algebren der Borelmengen und . Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem Produktraum mit dem Produkt von und übereinstimmt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Präring auf , der die Intervalle , , enthalte, und es sei ein äußeres Maß darauf, das auf diesen Intervallen den Wert besitze. Zeige, dass die Fortsetzung dieses äußeren Maßes auf allen abzählbaren Teilmengen von den Wert besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Begründe die einzelnen Abschätzungen in der Abschätzungskette im Beweis zu Lemma 64.3.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

  1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile
    [[/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
    schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
  2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort
     {{:Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

    ein.

  3. Es erscheint die Abschätzungskette. Wenn Sie auf eines der Größergleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
  4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort
    [[Ihr Benutzername/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
    hinschreiben.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien Mengen mit darauf erklärten -Algebren. Zeige, dass die Produkt--Algebra die kleinste -Algebra auf ist, für die alle Projektionen messbar sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Urbild der Einheitskreisscheibe unter den Inklusionsabbildungen



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