Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 63
- Aufwärmaufgaben
Es sei der halboffene Einheitswürfel im . Zeige, dass für jedes und das zugehörige Gittermaß die Beziehung
Wir betrachten die Menge , und zu jedem das zugehörige Gittermaß . Zeige, dass
existiert, dass aber
nicht existiert.
Es sei
eine streng wachsende Funktion. Zu betrachten wir die äquidistante Unterteilung des Einheitsintervalls in gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere Treppenfunktion von und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion . Es seien bzw. die zugehörigen Subgraphen.
a) Zeige, dass im Allgemeinen , , keine Ausschöpfung und , , keine Schrumpfung ist.
b) Zeige, dass , , eine Ausschöpfung und , , eine Schrumpfung ist.
c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von ?
d) Wogegen konvergieren die zugehörigen Folgen von Treppenintegrale?
Man zeige durch ein Beispiel, dass die „Schrumpfungsformel“ aus Lemma 63.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.
Wo geht in den Beweis zu Satz 63.7 die Endlichkeit der ein?
Zeige, dass das Bildmaß eines Maßes unter einer messbaren Abbildung in der Tat ein Maß ist.
Es seien , und Messräume und
messbare Abbildungen. Es sei ein Maß auf . Zeige, dass für die Bildmaße die Beziehung
Es seien und Messräume und es sei
eine messbare Abbildung. Es sei das im Punkt konzentrierte Dirac-Maß. Zeige .
Es seien und Messräume und es sei
eine messbare Abbildung. Es sei
eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß . Zeige, dass das Bildmaß ebenfalls ein Summationsmaß ist und bestimme die zugehörige Belegungsfunktion.
Es sei
eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß . Für jede konvergente Folge in sei die Bedingung erfüllt. Zeige, dass - endlich ist.
Es sei ein topologischer Raum und eine Überdeckung aus offenen Mengen, wobei abzählbar sei. Zeige folgende Aussagen.
a) Eine Teilmenge ist genau dann eine Borelmenge, wenn eine Borelmenge ist für jedes .
b) Ein - endliches Maß ist durch die Einschränkungen eindeutig bestimmt.
c) Es sei für jedes ein -endliches Maß auf gegeben. Für jedes Paar sei
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes -endliches Maß auf mit .
Es seien und topologische Räume. Zeige, dass die Produkttopologie auf die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden Projektionen und stetig sind.
Es sei ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale
eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ist.
Es sei eine Menge. Unter der diskreten Topologie auf versteht man diejenige Topologie, bei der jede Teilmenge offen ist.
Es seien und diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Belegungsfunktion zum Gittermaß zum Gitterabstand im .
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
- Es ist (reflexiv).
- Aus folgt (symmetrisch).
- Aus und folgt (transitiv).
Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Maßraum, ein Messraum und die Menge der messbaren Abbildungen von nach . Für
sei(dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien). Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe (6 Punkte)
(Man denke an das Riemann-Integral.)
Aufgabe (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für einen - endlichen Maßraum und eine messbare Abbildung
in einen Messraum derart, dass das Bildmaß nicht -endlich ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge durch
eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.
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