Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 63

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei der halboffene Einheitswürfel im . Zeige, dass für jedes und das zugehörige Gittermaß die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge , und zu jedem das zugehörige Gittermaß . Zeige, dass

existiert, dass aber

nicht existiert.


Aufgabe

Es sei

eine streng wachsende Funktion. Zu betrachten wir die äquidistante Unterteilung des Einheitsintervalls in gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere Treppenfunktion von und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion . Es seien bzw. die zugehörigen Subgraphen.

a) Zeige, dass im Allgemeinen , , keine Ausschöpfung und , , keine Schrumpfung ist.

b) Zeige, dass , , eine Ausschöpfung und , , eine Schrumpfung ist.

c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von ?

d) Wogegen konvergieren die zugehörigen Folgen von Treppenintegrale?


Aufgabe

Man zeige durch ein Beispiel, dass die „Schrumpfungsformel“ aus Lemma 63.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.


Aufgabe

Wo geht in den Beweis zu Satz 63.7 die Endlichkeit der ein?


Aufgabe

Es sei

eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß . Es sei

Zeige, dass genau dann -endlich ist, wenn abzählbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Bildmaß eines Maßes unter einer messbaren Abbildung in der Tat ein Maß ist.


Aufgabe

Es seien , und Messräume und

und

messbare Abbildungen. Es sei ein Maß auf . Zeige, dass für die Bildmaße die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es seien und Messräume und es sei

eine messbare Abbildung. Es sei das im Punkt konzentrierte Dirac-Maß. Zeige .


Aufgabe

Es seien und Messräume und es sei

eine messbare Abbildung. Es sei

eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß . Zeige, dass das Bildmaß ebenfalls ein Summationsmaß ist und bestimme die zugehörige Belegungsfunktion.


Aufgabe

Es sei

eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß . Für jede konvergente Folge in sei die Bedingung erfüllt. Zeige, dass -endlich ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und eine Überdeckung aus offenen Mengen, wobei abzählbar sei. Zeige folgende Aussagen.

a) Eine Teilmenge ist genau dann eine Borelmenge, wenn eine Borelmenge ist für jedes .

b) Ein -endliches Maß ist durch die Einschränkungen eindeutig bestimmt.

c) Es sei für jedes ein -endliches Maß auf gegeben. Für jedes Paar sei

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes -endliches Maß auf mit .


Aufgabe

Es seien und topologische Räume. Zeige, dass die Produkttopologie auf die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden Projektionen und stetig sind.


Aufgabe *

Es sei ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ist.


Es sei eine Menge. Unter der diskreten Topologie auf versteht man diejenige Topologie, bei der jede Teilmenge offen ist.

Aufgabe

Es seien und diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Belegungsfunktion zum Gittermaß zum Gitterabstand im .


Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).

  1. Es ist (reflexiv).
  2. Aus folgt (symmetrisch).
  3. Aus und folgt (transitiv).

Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Maßraum, ein Messraum und die Menge der messbaren Abbildungen von

nach . Für sei

(dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien). Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe . Zeige, dass

wobei das Gittermaß zu bezeichnet.

(Man denke an das Riemann-Integral.)

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -endlichen Maßraum und eine messbare Abbildung

in einen Messraum derart, dass das Bildmaß nicht -endlich ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge durch

eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.


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