Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 15/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien

zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei  , . Bestimme (in Abhängigkeit von ) die Summen der beiden Reihen


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion

nicht nach oben beschränkt ist und dass das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.[1]


Aufgabe Aufgabe 15.7 ändern

Es sei eine konvergente Reihe mit . Zeige, dass die durch die Reihenglieder

definierte Reihe ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.


Aufgabe Aufgabe 9.15 ändern

Es sei eine konvergente Reihe mit . Zeige, dass die durch

definierte Folge eine Nullfolge ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.


Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer periodischen Funktion.


Eine Funktion heißt periodisch mit Periode , wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine periodische Funktion und

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass beschränkt ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Für und sei

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für die Restgliedabschätzung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von


Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 15.15 ändern

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes die Folge

bestimmt divergent gegen ist.[2]


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Additionstheorem für den Sinus, also die Gleichheit

für .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.




Fußnoten
  1. Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass das Bild der reellen Exponentialfunktion ist.
  2. Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion.


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