Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 41/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

Löse damit das Anfangswertproblem


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung . Bestimme zur Schrittweite die approximierenden Punkte gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere . Was passiert mit für ?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

für .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen (für ) des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe Aufgabe 41.11 ändern

Es sei ein reelles Intervall und seien

differenzierbare Funktionen mit

für alle . Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Zeige, dass sowohl als auch Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ( ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

mit einer geeigneten Funktion

besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 41.3 zu einem Startzeitpunkt , einem Startpunkt und einer vorgegebenen Schrittweite die approximierenden Punkte berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte für

  1. , , , .
  2. , , , .
  3. , , , .
  4. , , , .
  5. , , , .
  6. , , , .
  7. , , , .
  8. , , , .

(Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.)

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung

in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite die Näherungspunkte für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems


Aufgabe (8 (2+6) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

a) Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion zu einer Lösung erfüllen muss.

b) Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine nichttriviale Lösung (für ) zum linearen Differentialgleichungssystem

mit Hilfe von Aufgabe 41.11.


Die für , , und ein definierte lineare Differentialgleichung

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter .


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das -te Legendre-Polynom[1]

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ist.




Fußnoten
  1. Hier bedeutet das hochgestellte die -te Ableitung.


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