Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y\cdot \sin x,$

im Nullpunkt ${}(0,0)$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{x-y^{2}},$

im Punkt ${}(1,1)$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto f(x,y,z)=e^{x}yz^{2}-xy,$

im Punkt ${}(1,0,-1)$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{\sin x-\cos y},$

im Punkt ${}\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)$.

Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in ${}2$ oder ${}3$ Variablen für die Grade ${}k=1,2,3$.

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y)=x^{2}y-3xy+5y^{2}+4x\,.$

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ im Punkt ${}P=(1,-2)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen ${}u=x-1,v=y+2$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.

Aufgabe

Es sei ${}f$ ein Polynom in ${}n$ Variablen vom Grad ${}\leq k$. Zeige, dass ${}f$ mit dem Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ von ${}f$ im Nullpunkt übereinstimmt.

In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ ein ${}n$- Tupel natürlicher Zahlen. Es sei ${}k:=\sum _{j=1}^{n}r_{j}$. Dann nennt man die Zahl

${}{\binom {k}{r}}={\frac {{k}!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{n}!}}\,$

einen Polynomialkoeffizienten.

Aufgabe

In einem Studium werden ${}11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar ${}3$ Seminarscheine, ${}5$ Klausuren, ${}2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?

Aufgabe

Es seien ${}n,k\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ mit ${}n$. Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\},$

bei denen das Urbild zu ${}j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ aus genau ${}r_{j}$ Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}k,n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ mit ${}\sum _{j=1}^{k}r_{j}=n$. Zeige, dass die Anzahl der ${}n$-Tupel

$(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,k\}^{n},$

in denen die Zahl ${}j$ genau ${}r_{j}$-mal vorkommt, gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ einer ${}n$-elementigen Menge gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung

$(a_{1}+\cdots +a_{n})^{k}=\sum _{r=(r_{1},\ldots ,r_{n}),\,\sum _{i=1}^{n}r_{i}=k}{\binom {k}{r}}a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\cdots a_{n}^{r_{n}}.$

Aufgabe *

Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für ${}P\in G$ und ${}v\in V$ die Beziehung

${}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und seien

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt ${}fg$ im Punkt ${}P$ vom Grad ${}\leq 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von ${}f$ und ${}g$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq 1$ sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto z\cdot \exp(xy),$

im Nullpunkt ${}(0,0,0)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}f(x,y)=-2xy^{3}-5x^{2}y^{2}+4xy^{2}-7y+3\,.$

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ im Punkt ${}P=(-3,4)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen ${}u=x+3,v=y-4$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und seien

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}k$-mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen ${}T_{k}(f)$ und ${}T_{k}(g)$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq k$. Zeige, dass das Produkt ${}fg$ ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom ${}T_{k}(fg)$ von ${}fg$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq k$ die Beziehung

${}T_{k}(fg)=(T_{k}(f)\cdot T_{k}(g))_{\leq k}\,$

besteht, wobei der Subskript ${}{\leq k}$ bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad ${}k$ genommen wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Sei ${}k\in \mathbb {N}$. Zeige, dass es maximal ein Polynom ${}p(x_{1},\ldots ,x_{n})$ vom Grad ${}\leq k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {f(x)-p(x)}\Vert }{\Vert {x}\Vert ^{k}}}=0\,$

gilt.