Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Zeige, dass genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis von mit

für alle gibt.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf . Es sei eine Orthogonalbasis auf mit der Eigenschaft für alle . Zeige, dass positiv definit ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge oder sind.


Aufgabe

Es sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Bilinearform ist nicht ausgeartet.
  2. Die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis ist invertierbar.
  3. Die Bilinearform ist vom Typ (mit einem .)


Aufgabe

Es sei eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform vom Typ auf einem -dimensionalen reellen Vektorraum. Es sei eine Basis von und es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von gleich ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von in jedem Punkt symmetrisch ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ein Untervektorraum von , und es sei

die Einschränkung von . Zeige


Aufgabe *

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

deren Hesse-Form den Typ besitzt.


Aufgabe

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

in jedem Punkt.


Aufgabe

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

in jedem Punkt.


Aufgabe

Es sei

eine -fach stetig differenzierbare Funktion, ein Punkt und . Es sei

Zeige, dass -fach stetig differenzierbar ist und dass

(mit Richtungsableitungen) gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf und einer Basis von derart, dass für alle ist, aber nicht positiv definit ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

im Punkt .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein kritischer Punkt. Die Hesse-Matrix in besitze sowohl positive als auch negative Eigenwerte. Zeige, dass in kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die globalen Extrema für die Funktion

wobei das durch die Eckpunkte und gegebene abgeschlossene (volle) Dreieck ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die Hesse-Matrizen zu den kritischen Punkten zur Funktion

aus Beispiel 46.9.


<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)