Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 66

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und zwei halboffene Intervalle (mit und ). Beschreibe den Durchschnitt als eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen.


Aufgabe

Es sei das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen, reellen Intervallen besteht. Zeige, dass kein Mengen-Präring ist.


Aufgabe

Es sei das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen, abgeschlossenen, einseitig halboffenen, leeren, beschränkten oder unbeschränkten reellen Intervallen besteht. Zeige, dass eine Mengenalgebra ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge , die man als eine abzählbare disjunkte Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.


Aufgabe

Zeige, dass unter einer polynomialen Funktion

vom Grad das Urbild eines rechtsseitig halboffenen Intervalls nicht rechtsseitig halboffen sein muss.


Aufgabe

Es sei eine messbare beschränkte Teilmenge. Zeige, dass ist.


Aufgabe

Es sei eine Borel-Menge. Zeige, dass

mit

und mit

übereinstimmt.


Aufgabe

Es seien endlich viele linear unabhängige Vektoren gegeben und es sei

das dadurch erzeugte Parallelotop. Zeige, dass beschränkt ist.


Aufgabe

Es sei , eine nichtleere offene Teilmenge. Zeige, dass ist. Zeige ebenso, dass dies für abgeschlossene Mengen nicht gelten muss.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein -endliches Maß auf an, das auf allen Intervallen mit positiver Länge den Wert besitzt.


Aufgabe

Es seien und reelle Vektorräume und

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass das Bild eines Parallelotops wieder ein Parallelotop ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Zählmaß auf dem translationsinvariant, aber auf dem Einheitswürfel nicht beschränkt ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Gittermaß zum Gitterabstand auf dem nicht translationsinvariant, aber auf dem Einheitswürfel beschränkt ist.


Aufgabe *

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius cm, der Topf sei cm hoch und auf die Höhe von cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?


Aufgabe *

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von cm und wird mit Öl und mit kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von cm und eine Höhe von cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?


Aufgabe *

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von cm und einen inneren Durchmesser von cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von Metern. Wie dick ist das Klopapier?


Aufgabe *

Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen und cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von cm herausgestanzt werden.

a) Zeige, dass man höchstens Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

b) Zeige, dass man mindestens Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass sich eine Teilmenge genau dann als eine endliche Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben lässt, wenn dies mit endlich vielen disjunkten rechtsseitig halboffenen Intervallen möglich ist.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei der Mengen-Präring aller Teilmengen , die sich als eine endliche Vereinigung von (rechtsseitig) halboffenen Intervallen schreiben lassen. Beweise folgende Aussagen.

  1. Die zu über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle

    definierte Zahl

    ist wohldefiniert.

  2. Durch die Zuordnung wird ein Prämaß auf diesem Präring definiert.


Die Cantor-Menge ist das Endprodukt des in dieser Skizze angedeuteten Ausdünnungsprozesses.

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Die Cantor-Menge ist definiert durch

a) Zeige, dass überabzählbar ist.

b) Zeige, dass eine Borel-Menge ist.

c) Zeige .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine Basis des . Zeige, dass das von diesen Vektoren erzeugte Parallelotop einen achsenparallelen Würfel (mit positiver Länge) enthält.


Aufgabe (12 Punkte)

Es sei ein Maß auf dem , das für alle offenen Bällen mit dem Borel-Lebesgue-Maß übereinstimmt. Zeige .

(Für den zweidimensionalen Fall gibt es 10 Punkte.)

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe eine Beispiel für eine offene Menge , deren Abschluss das Einheitsintervall ist, deren Borel-Lebesgue-Maß aber kleiner als ist.



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