Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 14

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Erläutere den Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig!


Aufgabe

Es sei

eine Polynomfunktion vom Grad . Zeige, dass nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

mit

stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine beschränkte, monotone, stetige Funktion

auf einen Intervall auch gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion

derart, dass keine stetige Fortsetzung

existiert.


Aufgabe *

Es sei eine reelle Folge und sei

Die Funktion sei durch

festgelegt. Zeige, dass genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn die Folge eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

nicht gleichmäßig stetig ist.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 8.19 hilfreich.

Aufgabe

Es seien und reelle Zahlen und sei

das dadurch definierte Reckteck in . Zeige, dass eine stetige Funktion

gleichmäßig stetig ist.


Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung

und Werte gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung

die auf jedem Teilintervall durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte und durch eine gerade Strecke verbindet.


Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion

approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man nimmt.

Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung

und Werte gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.


Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.


Aufgabe

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe *

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .


Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Lemma 14.9 für den Fall aus.


Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .


Aufgabe *

Vergleiche die beiden Zahlen


Aufgabe

Vergleiche die drei Zahlen


Aufgabe

Vergleiche


Aufgabe

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe

Finde eine rationale Zahl zwischen den beiden Zahlen und folgere daraus, welche größer ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.


Aufgabe

Es sei fixiert. Zeige


Aufgabe *

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


Aufgabe *

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

mit und mit für alle , die von verschieden ist.


In den folgenden Aufgaben bedeutet die Menge der stetigen Funktionen von nach (für eine Teilmenge ) und den abgeschlossenen Vollkreis in mit Mittelpunkt und Radius (die Randpunkte gehören also dazu).



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Quadratwurzelfunktion

gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf abgebildet. Zeige, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige unbeschränkte Funktion

Zeige, dass eine solche Funktion keine stetige Fortsetzung auf besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Betrag

gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und

eine Funktion. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem gibt es eine Unterteilung

derart, dass die lineare Interpolation (zu dieser Unterteilung und zu ) die Eigenschaft

erfüllt.

(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)

Aufgabe (2 Punkte)

Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr seiner Schlauheit.

  1. Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
  2. Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.



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