Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Erläutere den Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig!

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine Polynomfunktion vom Grad ${}\geq 2$. Zeige, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x<{\sqrt {2}}\,,\\1\,,{\text{ falls }}x>{\sqrt {2}}\,,\end{cases}}$

stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine beschränkte, monotone, stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,$

auf einen Intervall ${}I$ auch gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

derart, dass das Bild von ${}f$ beschränkt ist und ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,$

derart, dass das Bild von ${}f$ beschränkt ist und ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$

derart, dass keine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Q}$

existiert.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und sei

${}S={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

Die Funktion ${}f\colon S\rightarrow \mathbb {R}$ sei durch

${}f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$

festgelegt. Zeige, dass ${}f$ genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn die Folge eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe

Komplexer Betrag/Quadrat/Nicht Gleichmäßig stetig/Aufgabe

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 8.19 hilfreich.

Aufgabe

Es seien ${}a<b$ und ${}c<d$ reelle Zahlen und sei

${}Q={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid a\leq \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq b,\,c\leq \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq d\right\}}\,$

das dadurch definierte Reckteck in ${}{\mathbb {C} }$. Zeige, dass eine stetige Funktion

$f\colon Q\longrightarrow {\mathbb {C} }$

gleichmäßig stetig ist.

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$

und Werte ${}y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{k-1},y_{k}\in \mathbb {R}$ gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x),$

die auf jedem Teilintervall ${}[x_{i},x_{i+1}]$ durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte ${}(x_{i},y_{i})$ und ${}(x_{i+1},y_{i+1})$ durch eine gerade Strecke verbindet.

Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man ${}y_{i}=f(x_{i})$ nimmt.

Aufgabe

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$

und Werte ${}y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{k-1},y_{k}\in \mathbb {R}$ gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und ${}q=n/m\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass die durch

${}b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ${}q$ ist.

Aufgabe

Berechne

$5^{\frac {3}{7}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe *

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{q+q'}=b^{q}\cdot b^{q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
2. Es ist ${}b^{-q}={\frac {1}{b^{q}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{q})^{q'}=b^{q\cdot q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{q}=a^{q}\cdot b^{q}$.

Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Lemma 14.9 für den Fall ${}b<1$ aus.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Aufgabe *

Vergleiche die beiden Zahlen

${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.$

Aufgabe

Vergleiche die drei Zahlen

$2^{\sqrt {3}},\,4,\,3^{\sqrt {2}}.$

Aufgabe

Vergleiche

$5^{-{\frac {4}{7}}}\,\,{\text{ und }}\,\,5^{-{\frac {5}{9}}}.$

Aufgabe

Berechne

${\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe

Finde eine rationale Zahl zwischen den beiden Zahlen ${}2^{\sqrt {5}}$ und ${}3^{\sqrt[{3}]{2}}$ folgere daraus, welche größer ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto b^{x},$

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.

Aufgabe

Es sei ${}b>0$ fixiert. Zeige

${}\operatorname {lim} _{d\rightarrow 0}\,b^{d}=1\,.$

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=a^{x}\,$

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$. Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

${}s(x+1)=s(x)+1\,.$

Skizziere die Situation.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die von ${}2^{x}$ verschieden ist.

In den folgenden Aufgaben bedeutet ${}C^{0}(T,{\mathbb {K} })$ die Menge der stetigen Funktionen von ${}T$ nach ${}{\mathbb {K} }$ (für eine Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$) und ${}B\left(P,b\right)$ den abgeschlossenen Vollkreis in ${}{\mathbb {C} }$ mit Mittelpunkt ${}P$ und Radius ${}b$ (die Randpunkte gehören also dazu).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Quadratwurzelfunktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f{|}_{\mathbb {Q} },$

eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf ${}\mathbb {Q}$ abgebildet. Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige unbeschränkte Funktion

$f\colon [0,2[\longrightarrow \mathbb {R} .$

Zeige, dass eine solche Funktion keine stetige Fortsetzung auf ${}[0,2]$ besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Betrag

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine Unterteilung

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$

derart, dass die lineare Interpolation ${}g$ (zu dieser Unterteilung und zu ${}f$) die Eigenschaft

$\vert {f(x)-g(x)}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}x\in [a,b]$

erfüllt.

(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um ${}10\%$ schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr ${}10\%$ seiner Schlauheit.

1. Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
2. Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.