Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 2/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wie sehen die Graphen der Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

ob ${}f$ injektiv bzw. surjektiv ist?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche bijektiven Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ (oder zwischen Teilmengen von ${}\mathbb {R}$) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sollen möglichst viele bijektive Abbildungen zwischen den Fingerspitzen der linken Hand und den Fingerspitzen der rechten Hand dadurch realisiert werden, dass sich jeweils die zugehörigen (aufeinander abgebildeten) Fingerspitzen berühren.

1. Realisiere die „natürliche“ Bijektion.
2. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei benachbarte Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (benachbarte Transposition).
3. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (Transposition).
4. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren.
5. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau eine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.
6. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen keine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und wie sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vorstellen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

heißt streng wachsend, wenn für alle ${}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ mit ${}x_{1}<x_{2}$ auch ${}f(x_{1})<f(x_{2})$ gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion ${}f$ injektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe Beispiele für Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

derart, dass ${}\varphi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass ${}\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe Aufgabe 2.9 ändern

Es seien ${}m$ und ${}n$ natürliche Zahlen. Zeige durch Induktion über ${}m$, dass aus einer Bijektion

$\varphi \colon \{1,\ldots ,m\}\longrightarrow \{1,\ldots ,n\}$

folgt, dass ${}m=n$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Mengen

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\,M=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i\}{\text{ und }}N=\{R,S,T,U,V,W,X,Y,Z\}$

und die Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$, die durch die Wertetabellen

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}c$	${}i$	${}a$	${}g$	${}d$	${}e$	${}h$	${}b$

und

${}y$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$	${}e$	${}f$	${}g$	${}h$	${}i$
${}\psi (y)$	${}X$	${}Z$	${}Y$	${}S$	${}Z$	${}S$	${}T$	${}W$	${}U$

gegeben sind.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}\psi \circ \varphi$.
2. Sind die Abbildungen ${}\varphi$, ${}\psi$, ${}\psi \circ \varphi$ injektiv?
3. Sind die Abbildungen ${}\varphi$, ${}\psi$, ${}\psi \circ \varphi$ surjektiv?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon H\longrightarrow H,$

   die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge ${}E$ aller Einzelkinder und auf die Menge ${}M$ aller Mütter einschränkt?
4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{3}+3x^{2}-4\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=x^{2}+5x-3$

definiert sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}P$ eine Menge von Personen und ${}V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und ${}N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von ${}P$ nach ${}V$, nach ${}N$ und nach ${}V\times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Begründe, ob die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$

injektiv ist oder nicht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Menge und ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung

${\mathfrak {P}}\,(G)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(G),\,T\longmapsto \complement T,$

bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

${}M=A\uplus B\,$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$. Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn ${}A$ und ${}B$ zwar eine Vereinigung von ${}M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen

${\mathfrak {P}}\,(G)\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(G,\{0,1\}\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.$

Man mache sich diese Situation für ${}M=N=[0,1]$ und ${}L=\mathbb {R}$ klar.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Es sei

$G\colon M\longrightarrow L$

eine Abbildung, die

${}F\circ G=\operatorname {Id} _{M}\,$ und ${}G\circ F=\operatorname {Id} _{L}\,$ erfüllt. Zeige, dass dann ${}G$ die Umkehrabbildung von ${}F$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Zeige, dass die Abbildung

$\tau \colon L\times M\longrightarrow M\times L,\,(x,y)\longmapsto (y,x),$

eine bijektive Abbildung zwischen den Produktmengen ${}L\times M$ und ${}M\times L$ festlegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}T,T_{1},T_{2}\subseteq M$):

1. ${}F^{-1}(T_{1}\cap T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cap F^{-1}(T_{2})\,,$

2. ${}F^{-1}(T_{1}\cup T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cup F^{-1}(T_{2})\,,$

3. ${}F^{-1}(M\setminus T)=L\setminus F^{-1}(T)\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(L)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,S\longmapsto F(S),$

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}S,S_{1},S_{2}\subseteq L$):

1. ${}F(S_{1}\cap S_{2})\subseteq F(S_{1})\cap F(S_{2})$,
2. ${}F(S_{1}\cup S_{2})=F(S_{1})\cup F(S_{2})$,
3. ${}F(L\setminus S)\supseteq F(L)\setminus F(S)$.

Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

surjektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

injektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung ${}*$. Zeige, dass es maximal ein neutrales Element für die Verknüpfung gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a^{b},$

weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung darauf, die wir als Produkt schreiben.

1. Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen?
2. Die Verknüpfung sei nun assoziativ. Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Menge und ${}M={\mathfrak {P}}\,(G)$ die zugehörige Potenzmenge. Betrachte den Durchschnitt von Teilmengen von ${}G$ als eine Verknüpfung auf ${}M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{4}+3x^{2}-2x+5\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=2x^{3}-x^{2}+6x-1$

definiert sind.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man beschreibe eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch ${}g$ surjektiv.

Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte auf der Menge ${}M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),$

die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}2$	${}5$	${}6$	${}1$	${}4$	${}3$	${}7$	${}7$

gegeben ist. Berechne ${}\varphi ^{1003}$, also die ${}1003$-te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von ${}\varphi$ mit sich selbst.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left({\mathfrak {P}}\,(M),{\mathfrak {P}}\,(L)\right)},\,f\longmapsto f^{-1},$

bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.

a) Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv ist.

b) Es sei ${}L\neq \emptyset$. Zeige, dass ${}\Psi$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung darauf, die wir als ${}\star$ schreiben. Zeige, dass

${}(a\star b)\star (c\star (d\star e))=a\star ((b\star (c\star d))\star e)\,$

für beliebige ${}a,b,c,d,e\in M$ gilt.