Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 38

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}v,w\in \mathbb {R} ^{n}$. Bestimme die Länge der affin-linearen Kurve

$[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto tv+w.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Kurve und ${}c\in [a,b]$. Zeige, dass ${}f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von ${}f$ auf ${}[a,c]$ und auf ${}[c,b]$ rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall

${}L_{a}^{b}(f)=L_{a}^{c}(f)+L_{c}^{b}(f)\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-5x^{2}+3x-2,$

von ${}-5$ nach ${}5$.

Aufgabe *

Bestimme die Länge der durch

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegebenen Schraubenlinie für ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe *

Berechne die Länge der archimedischen Spirale

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),$

für die Umdrehung zwischen ${}t=0$ und ${}t=2\pi$.

Aufgabe

Bestimme die Länge der Neilschen Parabel

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}),$

von ${}0$ bis ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{>0}$.

Aufgabe

Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus ${}\cosh t$ von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe *

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x^{2}-x+13,$

zwischen ${}4$ und ${}8$.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${}L$ dieser Kurve die Abschätzung

${}L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$

gilt.

Aufgabe *

Wir betrachten die reelle Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt ${}M=(0,0)$ und Radius ${}3$, also

${}T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 3\right\}}\,.$

Eine Person befindet sich im Punkt ${}A=(5,0)$ und möchte zum Punkt ${}B=(-5,0)$, wobei sie sich nur in ${}T$ bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von ${}A$ nach ${}B$ entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ${}12,5$ ist.

b) Zeige, dass die Person von ${}A$ nach ${}B$ entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ${}11,9$ ist.

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$ heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ die Gleichheit

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

${}L(\gamma )=L(\varphi \circ \gamma )\,.$

Aufgabe

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.

Kommentar:

Eine Kurve ist rektifizierbar, wenn sie endliche Länge besitzt, was der Fall ist, wenn das Supremum der Länge gewisser Streckenzüge endlich ist. Keiner der Streckenzüge ist daher länger als die Kurve selbst. Die Komponentenfunktionen von ${}f$ sind die Abbildungen ${}f_{i}\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, die auf die ${}i$-te Koordinate von ${}f(t)$ bezüglich einer Basis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ abbilden. Wir können hier die Standardbasis wählen.

Um die geforderte Äquivalenz zu zeigen, schauen wir uns zunächst die Länge eines konkreten Streckenzugs an. Für eine Unterteilung ${}t_{0}\leq \cdots \leq t_{k}$ des Intervalls, ist diese gegeben durch

$L(f(t_{0}),\dots ,f(t_{k}))=\sum _{j=1}^{k}d(f(t_{j}),f(t_{j-1})).$

Das heißt, wir summieren über die Abstände aufeinanderfolgender Punkte. Für ein konkretes ${}j$ benennen wir die beiden Punkte (Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$) mit ${}v=f(t_{j}),w=f(t_{j-1})$ und stellen fest, dass wir den Abstand der Punkte durch deren Koordinaten abschätzen können. Bezüglich der euklidischen Metrik gilt

$d(v,w)=\|v-w\|={\sqrt {\sum _{l=1}^{n}(v_{l}-w_{l})^{2}}}\geq |v_{i}-w_{i}|$

für jede Koordinate ${}i$. Andererseits folgt mit der Dreiecksungleichung

$d(v,w)=\|v-w\|\leq \sum _{l=1}^{n}|v_{l}-w_{l}|.$

Daher gilt für den vorliegenden Streckenzug

$L(f_{i}(t_{0}),\dots ,f_{i}(t_{k}))\leq L(f(t_{0}),\dots ,f(t_{k}))\leq \sum _{l=1}^{n}L(f_{l}(t_{0}),\dots ,f_{l}(t_{k})),$

sodass wir die Länge des Streckenzugs nach oben und unten durch Ausdrücke abschätzen, die lediglich von den Koordinatenfunktionen abhängen. Dies ist ein sehr gängiges Vorgehen. Die Implikation daraus ist folgende. Falls der Streckenzug endliche Länge besitzt, ist der auf die einzelnen Koordinaten projizierte Streckenzug ebenso endlich lang, und umgekehrt, falls letztere endlich lang sind (und somit auch die Summe), so ist der Streckenzug zumindest nicht länger als diese Summe.

Durch Betrachtung des Supremums über alle erlaubten Streckenzüge können wir dann ${}L(f_{i})\leq L(f)\leq \sum _{l=1}^{n}L(f_{l})$ folgern.

 

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$

die rektifizierbar ist, deren Länge aber ${}>1$ ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$

die nicht rektifizierbar ist.

Die folgenden Aufgaben diskutieren, inwiefern höherdimensional ein „Mittelwertsatz“ gelten kann.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass

${}f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$

mit einem ${}s\in \mathbb {R}$, ${}s\neq 0$, gilt.

Kommentar:

Bei dieser Aufgabe machen wir uns zunächst die Analogie zum Mittelwertsatz klar. Analog zum Mittelwertsatz in einer Variablen könnte man erwarten, dass auch für eine Kurve im Höherdimensionalen ${}f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ die Ableitung ${}f'(c)$ an mindestens einem Punkt ${}c\in [a,b]$ den Durchschnittswert ${}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ annimmt. Physikalisch hätte dies die Interpretation, dass ein Zeitpunkt zwischen Start und Ziel existiert, an dem die durchschnittliche Geschwindigkeit (Gesamtentfernung pro Gesamtzeit) angenommen wird. Hierbei besitzt die Geschwindgkeit auch Informationen über die Richtung. Es ist eine vektorielle Größe.

In Beispiel 38.2 haben wir gesehen, dass diese Gleichheit nicht gilt, falls Start- und Zielpunkt übereinstimmen, und deshalb auch im Allgemeinen nicht gelten kann. Wohl aber gilt eine Abschätzung wie in Satz 38.1.

In der vorliegenden Aufgabe sollen Start- und Zielpunkt verschieden sein. Wir betrachten nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit selbst, sondern ${}s\cdot (f(b)-f(a))$ für ein beliebiges ${}s\in \mathbb {R} ,s\neq 0$. Dabei handelt es sich um einen Vektor, der in die Richtung der Durchschnittsgeschwindigkeit zeigt, aber vom Betrag her abweichen kann.

Eine mögliche Herangehensweise ist es mit einem beliebigen Beispiel zu starten, um zu schauen was schiefgeht. Beispielsweise könnten wir eine Kurve wählen, die die beiden Punkte ${}f(a),f(b)$ auf einem Halbkreis verbindet, um zu erreichen, dass die Geschwindigkeitsrichtung möglichst verschieden von ${}f(b)-f(a)$ ist. Dabei fällt allerdings auf, dass nach dem Durchlaufen eines Viertelkreises die Richtungen übereinstimmen – also nur in einem einzelnen Punkt.

Davon ausgehend können wir das Beispiel nun so abändern, dass sich in diesem Punkt die Geschwindigkeit ändert – beispielsweise verkürzt. Wie in Aufgabe 37.18 beobachtet wurde, lässt sich die Geschwindigkeit sogar auf Null verringern, ohne dass die Differenzierbarkeit verloren geht. Da ${}s\neq 0$ gefordert ist, lässt sich mit dieser Beobachtung das gewünschte Gegenbeispiel konstruieren. Wie immer genügt es ein einziges Gegenspiel zu finden, um eine Aussage zu widerlegen.

 

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$ und mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass

${}f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$

mit einem ${}s\in \mathbb {R}$, ${}s>0$, gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$ und mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass ${}f'(c)$ und ${}f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.

Aufgabe

Wir betrachten die Zykloide aus Beispiel 38.14, also die differenzierbare Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t))=(t-\sin t,1-\cos t).$

1. Zeige, dass ${}x(t)$ streng wachsend ist.
2. Zeige, dass

   $x\colon [0,2\pi ]\longrightarrow [0,2\pi ],\,t\longmapsto x(t),$

   bijektiv ist.

3. Es sei ${}h(x)$ die Umkehrfunktion zu ${}x(t)$ aus Teil (2). Zeige, dass ${}h$ in ${}0$ und in ${}2\pi$ nicht differenzierbar ist.
4. Drücke ${}y(t)$ als Funktion von ${}x$ aus. Wie verhält sich der Graph zu dieser Funktion zu der Zykloide? Ist diese Funktion differenzierbar?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt ${}0$ von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit ${}v$ abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve ${}f(t)$ des Körpers und die zurückgelegte Strecke ${}s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit ${}t$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{3}}x^{2}-4x+11,$

zwischen ${}2$ und ${}9$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {t^{3}}{3}},{\frac {4t^{5}}{5}},{\frac {8t^{7}}{7}}\right)},$

von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Länge des Graphen der Exponentialfunktion ${}\exp t$ von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Person ${}A$ befindet sich im Punkt ${}(0,-5)$ und will nach ${}(0,5)$. Im Punkt ${}(0,0)$ befindet sich eine weitere unbewegliche Person ${}B$. Da die Abstandsregel von ${}2$ einzuhalten ist, muss ${}A$ um ${}B$ herumlaufen.

1. Was ist die minimale Länge eines Weges, mit dem ${}A$ an ihr Ziel gelangt?
2. Man gebe eine Parametrisierung dieses kürzesten Weges an, wobei die Geschwindigkeit konstant gleich ${}1$ sein soll.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$. Zeige, dass es ein ${}c\in [a,b]$ derart gibt, dass ${}f'(c)$ und ${}f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.