Kurs:Analysis 3/13/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	4	0	0	5	8	0	0	0	0	3	0	0	0	0	0	23

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Dynkin-System auf einer Menge ${}M$.
2. Ein Maßraum.
5. Eine exakte Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand.

Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ und ${}S\subseteq T$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen ${}T_{i}$ ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Ein Maßraum besteht aus einer Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}$ und ein Maß

   $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

   erklärt ist.

3. Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Offene Untermannigfaltigkeit/Definition/Begriff/Inhalt
4. Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition/Begriff/Inhalt
5. Eine ${}k$- Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare ${}(k-1)$-Differentialform ${}\sigma$ auf ${}M$ mit ${}d\sigma =\omega$ gibt.
6. Der Rand von ${}M$ ist durch

   ${}\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$

   definiert, wobei ${}\alpha _{i}$ Karten sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit ${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist

   ${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

   ${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

3. Es sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

   eine stetige Funktion und sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zu ${}f$ um die ${}x$-Achse. Dann besitzt ${}K$ das Volumen

   ${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(t)^{2}\,dt\,.$

4. Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$. Dann ist

   ${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das von den beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ erzeugte Parallelogramm ${}P$. Man gebe ein explizites achsenparalleles Quadrat (mit positivem Flächeninhalt) an, dass ganz in ${}P$ liegt.

Lösung

Die inverse Matrix zu ${}{\begin{pmatrix}3&2\\-1&4\end{pmatrix}}$ ist ${}{\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&3\end{pmatrix}}$. Somit ist

${}e_{1}={\frac {4}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\,$

und

${}e_{2}={\frac {-2}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\,.$

Wir betrachten den Mittelpunkt des Parallelogramms,

${}P={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {5}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

Wir setzen

${}a:={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {14}{4}}\,.$

Dann ist das achsenparallel Quadrat mit ${}P$ als Eckpunkt unten links und ${}a$ als Seitenlänge ganz in dem Parallelogramm enthalten. Es gilt nämlich für einen Punkt ${}Q$ daraus

${}{\begin{aligned}Q&=P+re_{1}+se_{2}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+r{\left({\frac {4}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\right)}+s{\left({\frac {-2}{14}}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\right)}\\&={\left({\frac {1}{2}}+r{\frac {4}{14}}+s{\frac {-2}{14}}\right)}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}+{\left({\frac {1}{2}}+r{\frac {1}{14}}+s{\frac {3}{14}}\right)}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Wegen ${}r,s\leq a$ sind die Koeffizienten bezüglich der vorgegebenen Vektoren zwischen ${}0$ und ${}1$.

Aufgabe (8 (3+5) Punkte)

Auf einer kreisförmigen Platte ${}P$ mit Radius ${}1$ und Mittelpunkt ${}(0,0)$ sei durch

${}f(x,y)=x^{2}y+1\,$

eine Massenverteilung gegeben.

a) Bestimme die Gesamtmasse von ${}P$.

b) Bestimme den Schwerpunkt von ${}P$.

Lösung

a) Es ist

${}{\begin{aligned}\int _{P}f(x,y)dxdy&=\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}x^{2}y+1dydx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}y^{2}+y\right)}{|}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&=\int _{-1}^{1}2{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&=4\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&=\pi .\end{aligned}}$

b) Die ${}x$-Koordinate des Schwerpunktes muss ${}0$ sein, da die Massenverteilung symmetrisch bezüglich der ${}y$-Achse (also unter der Spiegelung ${}x\rightarrow -x$) ist.

Die ${}y$-Koordinate des Schwerpunktes berechnen wir (mit der Substitution ${}x=\sin u$) zu

${}{\begin{aligned}y_{S}&={\frac {1}{\pi }}\int _{P}yf(x,y)dxdy\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}x^{2}y^{2}+ydydx\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{3}}x^{2}y^{3}+{\frac {1}{2}}y^{2}\right)}{|}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}{\frac {2}{3}}x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\left(\sin ^{2}u\right)}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}{\left(\cos u\right)}{\left(\cos u\right)}du\\&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}u-2\sin ^{4}u+\sin ^{6}udu\\&={\frac {4}{3\pi }}{\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {3}{8}}\pi +{\frac {5}{32}}\pi \right)}\\&={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{24}}\\&={\frac {1}{24}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

a) Schreibe die komplexe Abbildung

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

in reellen Koordinaten (mit Hilfe der Identifizierung ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} +\mathbb {R} {\mathrm {i} }\cong \mathbb {R} ^{2}$).

b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) (also der Realteil und der Imaginärteil von ${}f$) harmonische Funktionen sind.

Lösung

a) Es ist

${}z^{3}=(x+{\mathrm {i} }y)^{3}=x^{3}+3{\mathrm {i} }x^{2}y-3xy^{2}-{\mathrm {i} }y^{3}=x^{3}-3xy^{2}+{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}{\mathrm {i} }\,,$

die Komponentenfunktionen sind also ${}g(x,y)=x^{3}-3xy^{2}$ und ${}h(x,y)=3x^{2}y-y^{3}$.

b) Es ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}g}{\partial ^{2}y}}&={\frac {\partial ^{2}{\left(x^{3}-3xy^{2}\right)}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}{\left(x^{3}-3xy^{2}\right)}}{\partial ^{2}y}}\\&=6x-6x\\&=0\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}h}{\partial ^{2}y}}&={\frac {\partial ^{2}{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}{\left(3x^{2}y-y^{3}\right)}}{\partial ^{2}y}}\\&=6y-6y\\&=0.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

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