Kurs:Analysis 3/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 4 0 0 5 8 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 23




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Dynkin-System auf einer Menge .
  2. Ein Maßraum.
  3. Eine exakte Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  4. Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand.


Lösung

  1. Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist .
    2. Mit und gehört auch zu .
    3. Für jede abzählbare Familie , , mit paarweise disjunkten Mengen ist auch
  2. Ein Maßraum besteht aus einer Menge , auf der eine - Algebra und ein Maß

    erklärt ist.

  3. Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Offene Untermannigfaltigkeit/Definition/Begriff/Inhalt
  4. Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Eine - Differentialform auf heißt exakt, wenn es eine differenzierbare -Differentialform auf mit gibt.
  6. Der Rand von ist durch

    definiert, wobei Karten sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
  2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion
    auf einem -endlichen Maßraum .
  3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion .
  4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.


Lösung

  1. Es sei ein Messraum und es sei ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für . Es seien und zwei Maße auf , die auf übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung mit und mit . Dann ist
  2. Es sei ein -endlicher Maßraum und

    eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes die Abschätzung

  3. Es sei

    eine stetige Funktion und sei der Rotationskörper zu um die -Achse. Dann besitzt das Volumen

  4. Es sei eine - dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei eine stetig differenzierbare - Differentialform mit kompaktem Träger auf . Dann ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das von den beiden Vektoren und erzeugte Parallelogramm . Man gebe ein explizites achsenparalleles Quadrat (mit positivem Flächeninhalt) an, dass ganz in liegt.


Lösung

Die inverse Matrix zu ist . Somit ist

und

Wir betrachten den Mittelpunkt des Parallelogramms,

Wir setzen

Dann ist das achsenparallel Quadrat mit als Eckpunkt unten links und als Seitenlänge ganz in dem Parallelogramm enthalten. Es gilt nämlich für einen Punkt daraus

Wegen sind die Koeffizienten bezüglich der vorgegebenen Vektoren zwischen und .


Aufgabe (8 (3+5) Punkte)

Auf einer kreisförmigen Platte mit Radius und Mittelpunkt sei durch

eine Massenverteilung gegeben.

a) Bestimme die Gesamtmasse von .

b) Bestimme den Schwerpunkt von .


Lösung

a) Es ist

b) Die -Koordinate des Schwerpunktes muss sein, da die Massenverteilung symmetrisch bezüglich der -Achse (also unter der Spiegelung ) ist.

Die -Koordinate des Schwerpunktes berechnen wir (mit der Substitution ) zu


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

a) Schreibe die komplexe Abbildung

in reellen Koordinaten (mit Hilfe der Identifizierung ).

b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) (also der Realteil und der Imaginärteil von ) harmonische Funktionen sind.


Lösung

a) Es ist

die Komponentenfunktionen sind also und .

b) Es ist

und


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung