Kurs:Analysis 3/5/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	9	3	1	0	0	0	6	8	3	0	0	0	36

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Messraum.
2. Die ${}\sigma$-Endlichkeit eines Prämaßes auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.
3. Das Produktmaß ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}$ zu ${}\sigma$- endlichen Maßräumen ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$.
4. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
5. Die ${}n$-te äußere Potenz zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
6. Eine positive Volumenform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

1. Eine Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}$ erklärt ist, heißt ein Messraum.
2. Das Prämaß ${}\mu$ heißt ${}\sigma$-endlich, wenn man ${}M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen ${}M_{i}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit

   ${}\mu (M_{i})<\infty \,$

   schreiben kann.

3. Man nennt das durch

   ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}(T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n})\,$

   für ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ festgelegte Maß das Produktmaß auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.

4. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum ${}X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
5. Man nennt den ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ das ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$.
6. Eine ${}n$- Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   (mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

   ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

   die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Fortsetzungssatz für Maße.
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   ein Prämaß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die von ${}{\mathcal {P}}$ erzeugte ${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}$. Dann ist ${}{\tilde {\mu }}$ ein Maß

   auf ${}{\mathcal {A}}$.
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (9 Punkte)

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe

$B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 1\right\}}$

nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke ${}[a,b]\times [c,d]\subseteq B\left(0,1\right)$

(mit $a\leq b$ und $c\leq d$) überdecken lässt.

Lösung

Nehmen wir an, es sei ${}B\left(0,1\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }R_{n}$ mit abgeschlossenen Rechtecken ${}R_{n}=[a_{n},b_{n}]\times [c_{n},d_{n}]\subseteq B\left(0,1\right)$. Dies führen wir zu einem Widerspruch. Es sei ${}P=(x,y)\in B\left(0,1\right)$ ein Randpunkt der Kreisscheibe, also ein Punkt mit ${}x^{2}+y^{2}=1$. Es ist dann ${}P\in R_{n}$ für mindestens ein ${}n$. Wir behaupten, dass ${}P$ ein Eckpunkt dieses Rechtecks ist.

Dazu zeigen wir, dass beide Koordinaten ${}x$ und ${}y$ Seitenkoordinaten des Rechtecks sind. Betrachten wir ${}x$ und nehmen wir an, ${}x$ sei keine Seitenkoordinate des Rechtecks, also ${}a_{n}<x<b_{n}$. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass sowohl ${}(x+\epsilon ,y)$ als auch ${}(x-\epsilon ,y)$ zu ${}R_{n}$ und damit zu ${}B\left(0,1\right)$ gehören. Also ist

${}{\sqrt {(x\pm \epsilon )^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+\epsilon ^{2}\pm 2x\epsilon }}={\sqrt {1+\epsilon ^{2}\pm 2x\epsilon }}\leq 1\,.$

Da man das Vorzeichen bei nichtnegativem ${}x$ positiv und bei negativem ${}x$ negativ wählen kann, steht bei dieser Wahl unter der Wurzel eine Zahl, die größer als ${}1$ ist, was einen Widerspruch bedeutet. Da diese Überlegung auch für die ${}y$-Koordinate gilt, muss ${}P$ ein Eckpunkt eines Rechtecks sein.

Da nur abzählbar viele Rechtecke beteiligt sind, stehen insgesamt nur abzählbar viele Eckpunkte zur Verfügung. Andererseits gibt es aber überabzählbar viele Punkte auf der Sphäre ${}S^{1}={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$, wie aus der Bijektion

$[0,2\pi [\longrightarrow S^{1},\,\alpha \longmapsto (\cos \alpha ,\sin \alpha ),$

folgt. Also kann eine abzählbare Überdeckung mit abgeschlossenen Rechtecken in ${}B\left(0,1\right)$ nicht den gesamten Rand und damit nicht die abgeschlossene Kreisscheibe überdecken.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

$v=(2,3,-4){\text{ und }}w=(1,-1,7)$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Lösung

Es ist

${}\left\langle v,v\right\rangle =4+9+16=29\,,$

${}\left\langle v,w\right\rangle =2-3-28=-29\,$

und

${}\left\langle w,w\right\rangle =1+1+49=51\,.$

Die Determinante der zugehörigen Matrix ist

${}\det {\begin{pmatrix}29&-29\\-29&51\end{pmatrix}}=29\cdot 51-29\cdot 29=29\cdot 22=638\,.$

Daher ist der Flächeninhalt des Parallelogramms gleich ${}{\sqrt {638}}$.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine numerische Funktion. Zeige

${}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}\,.$

Lösung

Es sei ${}x\in M$. Bei ${}f(x)\geq 0$ ist  ${}f_{+}(x)=f(x)$  und  ${}f_{-}(x)=0$,  somit ist

${}\vert {f(x)}\vert =f(x)=f_{+}(x)=f_{+}(x)+f_{-}(x)\,.$

Bei ${}f(x)<0$ ist hingegen  ${}f_{+}(x)=0$  und  ${}f_{-}(x)=-f(x)$,  und somit ist

${}\vert {f(x)}\vert =-f(x)=f_{-}(x)=f_{+}(x)+f_{-}(x)\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den Graph ${}M$ der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto u^{2}+uv-v^{3},$

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{3}$, also

${}M={\left\{(u,v,u^{2}+uv-v^{3})\mid (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}}\,$

mit der vom ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto (u,v,u^{2}+uv-v^{3}),$

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu ${}\psi$ sowie die Bildvektoren ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$.

b) Bestimme für jeden Punkt der Form  ${}P=(u,0)$  den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form  ${}P=(0,v)$  den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

Lösung

a) Das totale Differential zu ${}\psi$ im Punkt ${}P=(u,v)$ ist

$\left(D\psi \right)_{P}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2u+v&u-3v^{2}\end{pmatrix}}$

und es ist

$T_{P}(\psi )(e_{1})={\left(D\psi \right)}_{P}{\left(e_{1}\right)}={\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,T_{P}(\psi )(e_{2})={\left(D\psi \right)}_{P}{\left(e_{2}\right)}={\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}.$

b) und c) Zur Bestimmung des Flächeninhalts berechnen wir zunächst die Skalarprodukte der beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}$. Es ist

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}}\right\rangle =1+(2u+v)^{2}=1+4u^{2}+4uv+v^{2},$

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\2u+v\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =(2u+v)(u-3v^{2})=2u^{2}-6uv^{2}+uv-3v^{3}$

und

$\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\u-3v^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle =1+(u-3v^{2})^{2}=1+u^{2}-6uv^{2}+9v^{4}.$

b) Für ${}P=(u,0)$ berechnet sich der Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms zu

${}{\sqrt {\det {\begin{pmatrix}1+4u^{2}&2u^{2}\\2u^{2}&1+u^{2}\end{pmatrix}}}}={\sqrt {(1+4u^{2})(1+u^{2})-4u^{4}}}={\sqrt {1+5u^{2}}}\,.$

c) Für ${}P=(0,v)$ berechnet sich der Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms zu

${}{\sqrt {\det {\begin{pmatrix}1+v^{2}&-3v^{3}\\-3v^{3}&1+9v^{4}\end{pmatrix}}}}={\sqrt {(1+v^{2})(1+9v^{4})-9v^{6}}}={\sqrt {1+v^{2}+9v^{4}}}\,.$

Aufgabe (8 Punkte)

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ der Dimension  ${}n\geq 1$  unendlich viele Diffeomorphismen

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

besitzt.

Lösung

Wir betrachten Funktionen der Bauart

$\psi _{c}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x+\varphi _{c}(x),$

mit

${}\varphi _{c}(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq {\frac {1}{3}}\,,\\c{\left(x-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {2}{3}}\right)}^{2}{\text{ für }}{\frac {1}{3}}<x<{\frac {2}{3}}\,,\\0{\text{ für }}x\geq {\frac {2}{3}}\,.\end{cases}}\,$

mit einem Parameter  ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.  Dabei ist ${}\varphi _{c}$ stetig und auch stetig differenzierbar, da die Nullstellen des Polynoms doppelt sind. Somit ist auch ${}\psi _{c}$ stetig differenzierbar. Für ${}c$ hinreichend klein ist ${}\psi _{c}$ streng wachsend und definiert eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung des Einheitsintervalls in sich, die im unteren und im oberen Drittel die Identität ist.

Mit ${}\psi _{c}$ definieren wir Diffeomorphismen des offenen Einheitsballes in sich, durch

$U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto \psi _{c}{\left({\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\right)}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$

Es wird also der Punkt abhängig vom Radius gestreckt, wobei auf ${}U{\left(0,{\frac {1}{3}}\right)}$ und auf ${}U{\left(0,1\right)}\setminus U{\left(0,{\frac {2}{3}}\right)}$ die Identität vorliegt.

Wenn nun ${}M$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension ${}\geq 1$ ist, so wählen wir eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$,  wobei wir (durch verkleinern) davon ausgehen können, dass ${}V$ (ein offener Ball und dann auch) der offene Einheitsball ist. Die konstruierten Diffeomorphismen auf ${}V$ liefern Diffeomorphismen auf ${}U$. Da diese für den äußeren Ball (ab Radius ${}{\frac {2}{3}}$) die Identität sind, kann man diese Diffeomorphismen auf ${}M$ durch die Identität auf ${}M\setminus \alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,{\frac {2}{3}}\right)}\right)}$ diffeomorph ausdehnen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\psi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion auf ${}M$ und ${}\omega$ eine ${}k$- Form auf ${}M$. Zeige

${}\psi ^{*}(f\omega )=\psi ^{*}(f)\psi ^{*}\omega \,.$

Lösung

Es sei ${}P\in L$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\psi ^{*}{\left(f\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}&=(f\omega ){\left(\psi (P),T_{P}\psi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\psi (v_{k})\right)}\\&=f(\psi (P))\cdot \omega {\left(\psi (P),T_{P}\psi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\psi (v_{k})\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(f)\right)}(P)\cdot \omega {\left(\psi (P),T_{P}\psi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\psi (v_{k})\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(f)\right)}(P)\cdot {\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}{\left(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(f)\psi ^{*}(\omega )\right)}{\left(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}.\end{aligned}}$

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