Kurs:Analysis 3/9/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	0	0	5	0	0	6	0	0	3	0	0	9	32

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein topologischer Raum ${}X$ mit einer abzählbaren Basis.
2. Ein Maß auf einem Messraum ${}(M,{\mathcal {A}})$.
3. Das Borel-Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$.
4. Ein Tangentialvektor in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Eine Orientierung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.
6. Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

1. Man sagt, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
2. Ein Prämaß auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ nennt man ein Maß.
3. Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda ^{1}=\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
4. Unter einem Tangentialvektor an ${}P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch ${}P$.
5. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
6. Zu ${}P\in M$ sei ${}\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf ${}T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert ${}1$ zuordnet. Dann heißt die ${}n$- Differentialform

   $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$

   die kanonische Volumenform auf ${}M$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R}$.
2. /Fakt/Name
3. Der Brouwersche Fixpunktsatz.

Lösung

1. Es sei ${}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die ${}\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf ${}\mathbb {R}$. Dann gibt es genau ein ${}\sigma$- endliches Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt.
2. /Fakt
3. Es sei

   $\psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$

   eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ in sich. Dann besitzt ${}\psi$ einen Fixpunkt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$, die man als eine abzählbare disjunkte Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.

Lösung

Wir setzen

${}T:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}[{\frac {1}{2k+1}},{\frac {1}{2k}}[\,.$

Dies ist eine abzählbare disjunkte Vereinigung von Intervallen, die rechtsseitig offen sind. Wegen ${}T\subseteq [0,1]$ ist die Menge beschränkt. Da die unendlich vielen Punkte ${}{\frac {1}{2k}}$ nicht zu ${}T$ gehören, kann ${}T$ nicht eine endliche Vereinigung von Intervallen sein, da jeden Intervall nur eines der beteiligten Intervalle enthalten kann.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist ${}30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von ${}20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von ${}25$ cm. Über Nacht hat es ${}5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

Lösung

Wir denken uns den Eimer als Ausschnitt aus einem Kegel mit runder Grundseite. Wenn der Eimer bis zur Höhe ${}h$ gefüllt ist, so ist das Wasservolumen darin nach Fakt ***** gleich

${}{\frac {1}{3}}(120+h)\cdot \pi {\left(10+{\frac {h}{12}}\right)}^{2}-{\frac {1}{3}}\cdot 120\cdot \pi \cdot 10^{2}={\frac {1}{3}}\pi {\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}\,.$

Die Wasserzufuhr in den Eimer hängt vom oberen Querschritt ab. Bei einer Regenmenge von ${}5$ cm ist dies

${}5\cdot {\left({\frac {25}{2}}\right)}^{2}\cdot \pi ={\frac {3125}{4}}\pi \,.$

Dies führt zur Bedingung

${}{\frac {1}{3}}{\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}={\frac {3125}{4}}\,$

bzw.

${}{\left({\frac {1}{36}}(120+h)^{3}-4\cdot 12000\right)}=3\cdot 3125\,$

bzw.

${}(120+h)^{3}=3\cdot 36\cdot 3125+4\cdot 36\cdot 12000=337500+1728000=2065500\,.$

Also ist

${}h={\sqrt[{3}]{2065500}}-120\cong 7,35\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,\pi ]$, wobei ${}G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{2}$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$

Lösung

a) Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist

${}{\begin{aligned}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}x\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }x\sin x\,dx\\&=(\sin x-x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&=\pi .\end{aligned}}$

b)

${}{\begin{aligned}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi }(\int _{0}^{\sin x}y\,dy)\,dx\\&=\int _{0}^{\pi }(({\frac {1}{2}}y^{2})|_{0}^{\sin x})\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}x\,dx\\&={\frac {1}{4}}(x-\sin x\cos x)|_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{4}}\pi .\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Halbraum und ${}P\in H$. Es gebe eine in ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Menge ${}V$ mit ${}P\in V\subseteq H$. Zeige, dass ${}P$ kein Randpunkt von ${}H$ ist.

Lösung

Es sei

${}P={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Wir können die im ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Umgebung ${}V$ durch einen (im ${}\mathbb {R} ^{n}$) offenen Ball ${}U{\left(P,\epsilon \right)}$ mit ${}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq V\subseteq H$ ersetzen. Wenn ${}P$ ein Randpunkt wäre, so wäre ${}x_{1}=0$. Doch dann wäre ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {\epsilon }{2}}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in U{\left(P,\epsilon \right)}$, aber dieser Punkt gehört nicht zu ${}H$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Brouwerschen Fixpunktsatz.

Lösung

Zur Notationsvereinfachung sei ${}r=1$.  Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung ${}\psi$ geben würde. Dann ist stets

${}x\neq \psi (x)\,,$

so dass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen (der beiden) Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion

${}h(x)={\frac {\psi (x)-x}{\Vert {\psi (x)-x}\Vert }}\,$

definieren wir eine Abbildung

$\varphi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

durch

$\varphi (x)=x+{\left(-\left\langle x,h(x)\right\rangle +{\sqrt {1+\left\langle x,h(x)\right\rangle ^{2}-\Vert {x}\Vert ^{2}}}\right)}\cdot h(x)\,.$

Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei ${}\Vert {x}\Vert <1$ klar und bei ${}\Vert {x}\Vert =1$ liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt ${}\psi (x)$ nicht senkrecht zu ${}x$ ist (der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt), so dass

${}\left\langle x,h(x)\right\rangle \neq 0\,$

ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes stetig differenzierbar sind, handelt es sich bei ${}h(x)$ und bei ${}\varphi (x)$ um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung ${}\varphi$ bildet nach Aufgabe ***** die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare Retraktion der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach Fakt ***** nicht sein kann.