Kurs:Differentialgeometrie/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	6	3	3	5	13	4	3	7	6	3	6	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Hausdorff-Raum ${}X$.
2. Eine differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

3. Das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Die zweite Fundamentalmatrix zu einer lokalen Parametrisierung

   $V\longrightarrow U\subseteq Y$

   (mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ offen) einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

5. Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wobei ${}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Eigenschaft der Weingartenabbildung.
2. Der Satz über Orientierbarkeit und positive Volumenform.
3. Der Brouwersche Fixpunktsatz.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme die Krümmung in jedem Punkt des durch

${}h(x,y)=x^{2}+y^{2}=1\,$

implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) und dem Gradientenfeld zu ${}h$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ${}X\times X$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

$S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}},\,\,\mathbb {R} \,{\text{ und }}\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$

paarweise nicht homöomorph sind.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und sei ${}M\subseteq G$ eine ${}n$- dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei

$\varphi \colon W\longrightarrow U$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$. Zeige, dass auf ${}W$ die Formel

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\end{aligned}}$

gilt.

Aufgabe * (13 (2+3+2+2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den ${}\mathbb {R} ^{6}={\left(\mathbb {R} ^{2}\right)}^{3}$ als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten ${}P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$, ${}P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ und ${}P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}$, mit dem Koordinatentupel

$(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3})$

identifizieren.

1. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{6}$ ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in ${}\mathbb {R} ^{6}$, die wir ${}U$ nennen).
2. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{6}$ ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in ${}\mathbb {R} ^{6}$, die wir ${}V$ nennen).
3. Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung

   $F\colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R}$

   beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.

4. Zeige, dass die Funktion ${}F$ aus Teil (3) auf der Menge ${}U$ stetig differenzierbar ist.
5. Berechne die partielle Ableitung von ${}F$ nach ${}x_{1}$ auf ${}U$.
6. Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang ${}1$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}V$ bildet. Was ist die Dimension?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$, wir betrachten den (eingebetteten) Torus

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

mit der induzierten riemannschen Struktur. Zeige, dass zu jedem ${}\alpha \in [0,2\pi [$ die Abbildung

$\Psi _{\alpha }\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,\,x\sin \alpha +y\cos \alpha ,\,z\right),$

eine Isometrie von ${}T$ in sich induziert.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe ein Modell für die hyperbolische Fläche.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Theorema egregium.

Aufgabe * (6 (1+2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Differentialform

${}\omega =ydx+zdy+xdz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ und die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(u,\,v\right)\longmapsto \left(u^{2},\,v^{2},\,uv\right).$

1. Berechne die äußere Ableitung von ${}\omega$.
2. Berechne den Rückzug ${}\varphi ^{*}\omega$ von ${}\omega$ unter ${}\varphi$.
3. Berechne die äußere Ableitung von ${}\varphi ^{*}\omega$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$.
4. Berechne den Rückzug ${}\varphi ^{*}d\omega$ von ${}d\omega$ unter ${}\varphi$ unabhängig von (3).

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine exakte Differentialform auf ${}M$. Es sei ${}S$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei

$\varphi \colon S\longrightarrow M$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige

${}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =0\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.