Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 23

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung und ein Zwischenkörper. Es sei algebraisch über . Zeige, dass dann auch algebraisch über ist.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung vom Grad , wobei eine Primzahl sei. Es sei , . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Seien Körpererweiterungen derart, dass über endlich ist. Zeige, dass dann auch über und über endlich sind.


Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen der Zerfällungskörper des Polynoms ist.


Aufgabe

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler

-Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung, also . Zeige, dass die von erzeugte -Algebra kommutativ ist, und zeige, dass algebraisch ist, ohne den Satz von Cayley-Hamilton zu verwenden.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine echte Primzahlpotenz und der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in jedes Element aus ein Quadrat ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige: ist genau dann ein Unterkörper von , wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten :

  1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist .
  2. Die Ableitung ist -linear.
  3. Es gilt die Produktregel, also


Es sei ein Körper. Ein Element heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms , wenn in der Primfaktorzerlegung von das lineare Polynom mit einem Exponenten vorkommt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.



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