Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 23

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}K\subseteq K'\subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei ${}f\in L$ algebraisch über ${}K$. Zeige, dass dann ${}f$ auch algebraisch über ${}K'$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}p$, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Es sei ${}x\in L$, ${}x\not \in K$. Zeige, dass ${}K[x]=L$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}K\subseteq L\subseteq M$ Körpererweiterungen derart, dass ${}M$ über ${}K$ endlich ist. Zeige, dass dann auch ${}M$ über ${}L$ und ${}L$ über ${}K$ endlich sind.

Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ der Zerfällungskörper des Polynoms ${}X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Sei ${}F\colon K\rightarrow K$ der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ invariant unter ${}F$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-

Vektorraum. Es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung, also ${}f\in \operatorname {End} \,(V)$. Zeige, dass die von ${}f$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]$ kommutativ ist, und zeige, dass ${}f$ algebraisch ist, ohne den Satz von Cayley-Hamilton zu verwenden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$. Es seien ${}d$ und ${}e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

$K\cap L=\mathbb {Q}$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit ${}64,81,121,125$ und ${}128$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}q$ eine echte Primzahlpotenz und ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}$ jedes Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein Quadrat ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e,d\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige: ${}{\mathbb {F} }_{p^{d}}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$, wenn ${}e$ ein Vielfaches von ${}d$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{n}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ kein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ sein kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit ${}27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten ${}F\mapsto F'$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist ${}0$.
2. Die Ableitung ist ${}K$- linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   ${}(FG)'=FG'+F'G\,.$

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Element ${}a\in K$ heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms ${}P\in K[X]$, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${}P$ das lineare Polynom ${}X-a$ mit einem Exponenten ${}\geq 2$ vorkommt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}F\in K[X]$ und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn ${}F'(a)=0$ ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.