Kurs:Einführung in die mathematische Logik/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 3 2 2 2 2 0 4 0 6 0 0 27




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine widersprüchsfreie Ausdrucksmenge in einer aussagenlogischen Sprache.
  2. Ein größtes Element in einer geordneten Menge .
  3. Die Bestandteile einer Grundtermmenge.
  4. Ein Isomorphismus

    zwischen zwei -Strukturen und .

  5. Die Register-Entscheidbarkeit einer Teilmenge .
  6. Eine -Modallogik.


Lösung

  1. Die Menge heißt widersprüchsfrei, wenn es keinen Ausdruck mit und gibt.
  2. Ein Element heißt größtes Element von , wenn für jedes gilt.
  3. Die Bestandteile einer Grundtermmenge besteht aus den folgenden (untereinander disjunkten) Mengen.
    1. eine Variablenmenge ,
    2. eine Konstantenmenge ,
    3. zu jedem eine Menge von Funktionssymbolen.
  4. heißt -Isomorphismus, wenn bijektiv ist und sowohl als auch die Umkehrabbildung ein -Homomorphismus ist.

  5. Die Teilmenge heißt Register-entscheidbar, wenn es ein Programm für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe anhält und für die die Äquivalenz

    gilt.

  6. Eine Modallogik heißt eine -Modallogik, wenn das Axiomenschema

    für beliebige Ausdrücke und die Nezessisierungsregel

    aus folgt

    für alle gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Zorn.
  2. Der Satz über die Division mit Rest in einem Peano-Halbring.
  3. Der Satz über die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik.


Lösung

  1. Sei eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass jede total geordnete Teilmenge eine obere Schranke in besitzt. Dann gibt es in maximale Elemente.
  2. Sei ein Peano-Halbring und . Dann gibt es zu jedem eindeutig bestimmte mit , , und mit
  3. Die erststufige Peano-Arithmetik ist unvollständig.


Aufgabe (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

  1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
  2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
  3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?


Lösung

  1. Induktionsbeweis.
  2. Beweis durch Widerspruch.
  3. Beweis durch Fallunterscheidung.


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob der aussagenlogische Ausdruck erfüllbar ist oder nicht.


Lösung

Wenn die Aussagenvariable mit und die Aussagenvariable mit belegt wird, so besitzt der Vordersatz den Wahrheitswert und somit besitzt die Gesamtimplikaton den Wahrheitswert . Daher ist der Ausdruck erfüllbar.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Menge von überabzählbar vielen Aussagenvariablen und es sei eine abzählbare Ausdrucksmenge. Ist abzählbar oder überabzählbar?


Lösung

Für jede Aussagenvariable kann man

ableiten, also insbesondere

Da überabzählbar ist, lassen sich also überabzählbar viele Ausdrücke aus ableiten.


Aufgabe (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).


Lösung

Es gibt ein Schwein, das mich anruft, oder es gibt eine Sau, die sich für mich interessiert.


Aufgabe (2 Punkte)

Formalisiere in der arithmetischen Sprache die (wahre) Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Lösung

Wir arbeiten mit und setzen

was die Primeigenschaft von bedeutet. Eine Formalisierung für die Unendlichkeit der Primzahlen ist

da dieser Ausdruck besagt, dass es oberhalb jeder Zahl eine Primzahl gibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen. Zeige, dass ein kommutativer Halbring, aber kein Peano-Halbring ist.


Lösung

Die Menge ist ein kommutativer Halbring, da ein Körper ist und unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Wir betrachten die Aussage

die wir als bezeichnen. Es handelt sich um eine Ausssage mit der freien Variablen . Diese Aussage ist in nicht gültig, wenn man beispielsweise durch belegt, und insbesondere ist nicht gültig.

Dagegen ist aufgrund des linken Teils wahr. Ferner ist die Indukltionsschrittaussage

ebenfalls wahr, da ja aus

direkt

folgt. Somit gilt die Voraussetzung im Induktionsaxiom, aber nicht die Konklusion für diese Aussage, und somit gilt das Induktionsaxiom in nicht.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Im Aufbau der Registermaschine wurde der Druckbefehl durch einen Musiktonbefehl ersetzt, der den Inhalt von in einen Ton umsetzt, damit man mit der Registermaschine auch komponieren bzw. Lieder kodieren kann. Für ein Lied wurden schon Programmabschnitte geschrieben, die die folgende Bedeutung haben: ist das Vorspiel (), ist die Strophe (), ist der Refrain () und ist das Gitarrensolo (). Es soll nun aus den Programmabschnitten ein (anhaltendes) Programm zusammengesetzt werden, derart, dass beim Abspielen des Programms ein Lied der Form

erklingt. Dabei darf jeder der Programmabschnitte nur einmal im Programmcode auftauchen. Verwende ausschließlich die Grundbefehle.


Lösung

Wir arbeiten mit den Hilfszählregistern , die am Anfang der Reihe nach mit belegt seien. Wir behaupten, dass das folgende Programm (die Befehlszeilennummern repräsentieren teilweise ganze Programmabschnitte) das Lied abspielt.

Wir analysieren den Programmdurchlauf. Zuerst wird das Vorspiel, die Strophe und der Refrain abgespielt. Dann werden die vier Zähler auf gesetzt. Die folgenden drei Abfragen sind negativ, im elften Befehl ist das abgefragte Register leer und daher geht es zu Zeile . Somit wird Strophe und Refrain abgespielt und anschließend werden die Register auf gesetzt. Die folgenden zwei Abfragen sind negativ, im zehnten Befehl ist das abgefragte Register leer und daher geht es zu Zeile . Dort wird das Gitarrensolo abgespielt und anschließend geht es, da ja leer ist, zur Programmzeile . Es folgt Strophe und Refrain und anschließend werden die Register auf gesetzt. Die folgende Abfrage ist negativ, aber im neunten Befehl ist das abgefragte Register leer und daher geht es zu Zeile . Es wird der Refrain abgespielt und anschließend werden die Register auf gesetzt. Im Befehl wird jetzt zum Haltebefehl umgeleitet.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung