Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 17

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei . Zeige, dass die Automorphismengruppen der -Strukturen und jeweils trivial sind.


Aufgabe

Es sei die Symbolmenge eines Körpers. Zeige, dass es einen Unterkörper derart gibt, dass nicht trivial ist.


Aufgabe

Es sei die Symbolmenge eines angeordneten Körpers. Zeige, dass für jeden Unterkörper die Automorphismengruppe trivial ist.


Aufgabe

Es sei die Symbolmenge eines angeordneten Körpers. Zeige, dass es einen angeordneten Körper derart gibt, dass nicht trivial ist.


Aufgabe

Wir betrachten die beiden folgenden Punktkonfigurationen im ,

Zeige, dass es keine lineare Abbildung

gibt, die in überführt. Widerspricht dies Satz 17.3?


Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe und eine -Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse gebe es einen -Ausdruck in einer freien Variablen , der die Klasse beschreibt. Zeige, dass für jedes -stellige Funktionssymbol aus die elementare Äquivalenz folgt.


Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe und eine -Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse gebe es einen -Ausdruck in einer freien Variablen , der die Klasse beschreibt. Zeige, dass für ein -stelliges Funktionssymbol aus nicht die Gleichheit folgen muss.


Aufgabe

Es sei das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes ein einstelliges Relationssymbol enthält. Wir betrachten die Menge , wobei wir das Relationssymbol durch

interpretieren. Es sei ein Ausdruck in einer freien Variablen , wobei in die Relationssymbole vorkommen mögen. Es sei das kleinste gemeinsame Vielfache von . Zeige, dass

genau dann gilt, wenn

gilt.


Aufgabe

Es sei ein zweistelliges Funktionssymbol und ein einstelliges Funktionssymbol. Man mache sich klar, dass die Symbolkette in zweifacher Weise als formal-zusammengesetztes Funktionssymbol gelesen werden kann.


Aufgabe

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet, eine -Struktur und eine Teilmenge. Zeige, dass die (rekursiv definierte) funktionale Hülle von gleich dem Durchschnitt über alle funktional abgeschlossenen Teilmengen ist, die umfassen.


In der Mathematik interessiert man sich nicht nur für die von einer Teilmenge einer Struktur erzeugte funktionale Hülle, sondern auch für Unterstrukturen, in denen zusätzlich noch die gleichen Gesetzmäßigkeiten (ausgedrückt durch ein Axiomensystem ) wie in der Struktur gelten, beispielsweise die von einer Teilmenge erzeugten Untergruppen, Unterringe, Unterkörper, Untervektorräume. Diese von einer Teilmenge erzeugten -Strukturen kann man oft, wenn es sie überhaupt gibt, als Durchschnitt über alle -Unterstrukturen erhalten, die die Teilmenge umfassen.

Aufgabe

Wir betrachten die Gruppe . Bestimme die funktionale Hülle von (hier spricht man vom erzeugten Untermonoid) und die von erzeugte Untergruppe.


Aufgabe

Das Symbolalphabet bestehe neben Variablen aus einem einstelligen Funktionssymbol und es sei mit . Es sei , wobei als interpretiert wird mit der einzigen Ausnahme

a) Zeige, dass von erfüllt wird.

b) Bestimme die funktionale Hülle von .

c) Zeige, dass die funktionale Hülle von nicht erfüllt.

d) Man gebe zwei funktional abgeschlossene, -erfüllende und enthaltende Teilmengen an, deren Durchschnitt nicht erfüllt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Symbolmenge und eine endliche -Struktur. Zeige, dass zwei Elemente genau dann elementar äquivalent sind, wenn es einen -Automorphismus

mit gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Verwende, dass Polynomfunktionen auf einem angeordneten Körper stetig sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht. Wir betrachten vierelementige -Strukturen, die erfüllen (also WM-Fußballgruppen, wobei als gewinnt gegen interpretiert wird). Erstelle Aussagen in einer freien Variablen derart, dass

bedeutet, dass in der Abschlusstabelle Punkte hat.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für zwei (abstrakte) WM-Fußballgruppen, die die gleiche Abschlusspunktetabelle besitzen, aber nicht isomorph sind.


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