Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 16

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und seien -Strukturen. Zeige folgende Aussagen.

  1. Die Identität

    ist ein Isomorphismus.

  2. Zu einem Isomorphismus

    ist die Umkehrabbildung

    ein Isomorphismus.

  3. Es seien

    und

    Homomorphismen (Isomorphismen). Dann ist auch die Hintereinanderschaltung ein Homomorphismus (Isomorphismus).


Aufgabe


Aufgabe

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet, das keine Relationssymbole enthalte. Zeige, dass ein bijektiver -Homomorphismus zwischen zwei -Strukturen bereits ein -Isomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei die Menge aller unendlichen Teilmengen von , versehen mit der Inklusion als Ordnung, und es sei das rechtsseitig offene reelle Einheitsintervall mit der Kleinergleich-Relation als Ordnung. Zeige, dass die Abbildung

eine bijektive, ordnungstreue Abbildung ist, deren Umkehrabbildung nicht ordnungstreu ist.

Warum beschränkt man sich auf unendliche Teilmengen? Wie sehen die „transportierten Ordnungen“ aus?

Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe. Definiere eine -„Unterstruktur“ in einer -Struktur .


Aufgabe

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet, und seien -Strukturen und

ein Homomorphismus. Es sei eine Variablenbelegung in und die nach übertragene Variablenbelegung. Es seien und die zugehörigen Interpretationen. Zeige, dass

für alle -Terme gilt.


Aufgabe

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und eine -Struktur. Zeige, dass die elementare Äquivalenz von Elementen eine Äquivalenzrelation auf ist.


Aufgabe

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet, das nur aus einer Variablenmenge besteht, die Konstantenmenge und die Mengen der Funktionssymbole und der Relationssymbole seien also leer. Zeige, dass je zwei Elemente elementar äquivalent sind.


Unter einem Automorphismus einer -Struktur versteht man einen Isomorphismus von nach . Man spricht von der -Automorphismengruppe von , geschrieben .

Aufgabe

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und sei eine -Struktur. Zeige, dass die Menge der -Automorphismen auf eine Gruppe bildet.


Aufgabe

Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der zyklischen Gruppe zum Symbolalphabet .


Aufgabe *

Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der Gruppe zum Symbolalphabet .


Aufgabe

Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht und es sei

Zeige, dass eine vierelementige -Struktur, die erfüllt, äquivalent zur Gewinnstruktur in einer Vorgruppe bei einer Fußballweltmeisterschaft ist.

(Bemerkung: Eine zweistellige Relation wird oft durch ein Pfeildiagramm veranschaulicht.)

Aufgabe

Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht und es sei

die -Struktur, bei der als gewinnt gegen (bei der Fußballweltmeisterschaft 2014) interpretiert wird. Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz, trennende Ausdrücke und die Automorphismengruppe.


Aufgabe

Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht. Wir betrachten Modelle, die aus einer vierelementigen Menge mit einer zweistelligen (Gewinn)-relation bestehen und die die Aussage erfüllen. Zeige, dass zwei verschiedene Elemente zueinander elementar äquivalent sein können, obwohl gilt ( und spielen also nicht unentschieden).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien widerspruchsfreie Ausdrucksmengen, die unter Ableitungen abgeschlossen seien, und seien bzw. die gemäß der Konstruktion zugehörigen Modelle. Zeige, dass es einen -Homomorphismus

gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei das Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol besteht und es sei

die -Struktur, bei der als gewinnt gegen (bei der Fußballweltmeisterschaft 2014) interpretiert wird. Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz, trennende Ausdrücke und die Automorphismengruppe.


Aufgabe (8 Punkte)

Klassifiziere (bis auf Isomorphie) die möglichen Gewinnstrukturen bei einer Vierergruppe (wie bei einer Fußballweltmeisterschaft).

(Bemerkung: Es wird also eine vollständige Liste aller möglichen Isomorphietypen verlangt. Die Liste muss systematisch sein und die Vollständigkeit begründet werden.)

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und seien -isomorphe -Strukturen. Zeige, dass die zugehörigen Automorphismengruppen und isomorph sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz in der zyklischen Gruppe zum Symbolalphabet .



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