Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 9
- Übungsaufgaben
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Man gebe zwei Primfaktoren von an.
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.
Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen existieren.
Es sei ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von verschiedene Primideal ein Primelement enthält.
Es seien , und positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit die Teilbarkeit impliziert.
a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
Begründe, ob der größte gemeinsame Teiler zu zwei Zahlen im Allgemeinen einfacher über die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen oder über den euklidischen Algorithmus zu finden ist.
Die folgenden Aufgaben zeigen, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.
Es sei diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch den Rest besitzen, also . Zeige, dass man innerhalb von auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in nicht weiter zerlegbar sind.
Betrachte den Unterring
Zeige, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente besitzt.
Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem kommutativen Ring
,
wobei ein fixierter Körper ist. Er besteht aus allen Ausdrücken der Form
mit und besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel
gegeben ist. Beispielsweise ist
Man kann sich bei die Elemente als die Funktionen
vorstellen.
Berechne in das Produkt
Zeige, dass man jedes Element ( ein Körper) als ein Polynom in mit einem schreiben kann, dass es also ein derart gibt, dass gilt. Welches Polynom kann man bei
nehmen?
Zeige, dass in das Element keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.
Zeige, dass in das Element nicht irreduzibel ist.
Die folgende Aufgabe verwendet Logarithmen und benötigt Grundkenntnisse in linearer Algebra.
Betrachte die reellen Zahlen als - Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Integritätsbereich und ein Unterring mit
In besitze jede Nichteinheit eine Zerlegung in irreduzible Elemente. Zeige, dass diese Eigenschaft auch in gilt.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring und Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.
1) Wenn ein größter gemeinsamer Teiler der ist, so ist auch ein größter gemeinsamer Teiler der .
2) Wenn ein Nichtnullteiler ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein faktorieller Bereich und . Zeige, dass und das Produkt aus und zueinander assoziiert sind.
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Es seien Elemente in einem faktoriellen Bereich und .
a) Zeige, dass
zueinander assoziiert sind.
b) Zeige, dass
zueinander assoziiert sind.
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass es in keine irreduziblen Elemente gibt.
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