Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 9

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}-1$.

Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}+1$.

Aufgabe

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen

$2^{33}-1,\,2^{91}-1,\,2^{13}+1.$

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe *

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Aufgabe *

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${}65$ und deren Produkt ${}1000$ ist.

Aufgabe *

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in ${}K[X]$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich ${}R$ der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen ${}f,g\in R$ existieren.

Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {kgV} \,(a,b),$

(wobei man das ${}\operatorname {kgV} \,\geq 0$ wählt), ein Monoid definiert.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von ${}0$ verschiedene Primideal ein Primelement enthält.

Aufgabe

Charakterisiere in ${}\mathbb {Z}$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

Aufgabe

Es seien ${}a$, ${}b$ und ${}r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit ${}a^{r}{|}b^{r}$ die Teilbarkeit ${}a{|}b$ impliziert.

Aufgabe *

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und ${}2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und ${}2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.

Aufgabe

Begründe, ob der größte gemeinsame Teiler zu zwei Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ im Allgemeinen einfacher über die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen oder über den euklidischen Algorithmus zu finden ist.

Aufgabe *

Bestimme den Exponenten zu ${}3$ von ${}72657$.

Aufgabe *

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Die folgenden Aufgaben zeigen, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen, also ${}M=\{1,5,9,13,17,{\ldots }\}$. Zeige, dass man ${}441$ innerhalb von ${}M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in ${}M$ nicht weiter zerlegbar sind.

Aufgabe

Betrachte den Unterring

${}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$

Zeige, dass ${}X^{6}$ zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente besitzt.

Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem kommutativen Ring ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$, wobei ${}K$ ein fixierter Körper ist. Er besteht aus allen Ausdrücken der Form

$a_{1}X^{q_{1}}+a_{2}X^{q_{2}}+\cdots +a_{n}X^{q_{n}}$

mit ${}a_{i}\in K$ und ${}q_{i}\in \mathbb {Q} _{\geq 0}$ besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{q}\cdot X^{p}:=X^{p+q}\,$

gegeben ist. Beispielsweise ist

${}{\begin{aligned}{\left(2X^{1/2}+5X^{2/3}\right)}{\left(3X^{1/2}-4X^{1/3}\right)}&=6X-8X^{5/6}+15X^{7/6}-20X\\&=-14X-8X^{5/6}+15X^{7/6}.\end{aligned}}$

Man kann sich bei ${}K=\mathbb {R}$ die Elemente ${}X^{a/b}$ als die Funktionen

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{a/b}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$

vorstellen.

Aufgabe

Berechne in ${}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Produkt

${\left(X^{2}+4X^{3/2}-5X+X^{1/2}\right)}{\left(2X^{3/2}+4X-7X^{1/2}\right)}.$

Aufgabe

Zeige, dass man jedes Element ${}F\in R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ (${}K$ ein Körper) als ein Polynom in ${}X^{1/b}$ mit einem ${}b\in \mathbb {N} _{+}$ schreiben kann, dass es also ein ${}P\in K[Y]$ derart gibt, dass ${}F=P(X^{1/b})$ gilt. Welches Polynom kann man bei

${}F=X^{1/2}+X^{1/3}+X^{1/5}\,$

nehmen?

Aufgabe

Zeige, dass in ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element ${}X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass in ${}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element ${}X^{2}+1$ nicht irreduzibel ist.

Die folgende Aufgabe verwendet Logarithmen und benötigt Grundkenntnisse in linearer Algebra.

Aufgabe

Betrachte die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$- Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\ln p$, wobei ${}p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}S$ ein Integritätsbereich und ${}R\subseteq S$ ein Unterring mit

${}S^{\times }\cap R=R^{\times }\,.$

In ${}S$ besitze jede Nichteinheit eine Zerlegung in irreduzible Elemente. Zeige, dass diese Eigenschaft auch in ${}R$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}a,b\in R$. Zeige, dass ${}ab$ und das Produkt aus ${}{\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}$ und ${}{\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)}$ zueinander assoziiert sind.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es seien ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ Elemente in einem faktoriellen Bereich ${}R$ und ${}k\in \mathbb {N}$.

a) Zeige, dass

$\operatorname {kgV} _{}^{}{\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\ldots ,a_{n}^{k}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,{\left(\operatorname {kgV} _{}^{}{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\right)}^{k}$

zueinander assoziiert sind.

b) Zeige, dass

$\operatorname {ggT} _{}^{}{\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\ldots ,a_{n}^{k}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,{\left(\operatorname {ggT} _{}^{}{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\right)}^{k}$

zueinander assoziiert sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten den Integritätsbereich

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-5}}={\left\{a+b{\sqrt {-5}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subset {\mathbb {C} }\,.$

Betrachte in ${}R$ die Zerlegung

${}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,.$

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind.

Tipp. Betrachte die sogenannte Norm

${}N(a+b{\sqrt {-5}})=a^{2}+5b^{2}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es in ${}R={\mathbb {C} }[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ keine irreduziblen Elemente gibt.