Kurs:Elliptische Kurven/1/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 10 | 5 | 2 | 5 | 4 | 4 | 2 | 3 | 2 | 5 | 2 | 10 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein glatter Punkt auf einer ebenen algebraischen Kurve .
- Eine elliptische Kurve.
- Ein Gitter in den komplexen Zahlen .
- Die Verzweigungsordnung zu einer Erweiterung von diskreten Bewertungsringen.
- Die Divisorenklassengruppe einer glatten irreduziblen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
- Die Zeta-Funktion zu einer Varietät über einem endlichen Körper .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über streckungsäquivalente Gitter und komplexe Tori.
- Der Satz über den Grad der Multiplikationsabbildung auf einer elliptischen Kurve.
- Der Satz von Mordell-Weil für elliptische Kurven.
Aufgabe (10 Punkte)
Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.
Aufgabe (5 Punkte)
Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie kongruente Zahlen und elliptische Kurven zusammenhängen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Finde acht Punkte mit ganzzahligen Komponenten, die die Bedingung
erfüllen.
Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik
mit der Geraden .
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen (bezüglich ) auch und elliptisch sind.
Aufgabe * (3 Punkte)
Finde für das Gitter das Element im Fundamentalbereich derart, dass streckungsäquivalent zu ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Zeige mit Satz 15.8 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)), dass der Endomorphismenring einer elliptischen Kurve die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei
die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform über einem Körper mit . Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Berechne den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen und , wenn mit dem -adischen Standardbetrag versehen ist.
Aufgabe * (10 (1+1+1+4+3) Punkte)
Wir betrachten die durch die Gleichung
gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern .
- Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
- Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
- Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
- Bestimme, für welche Primzahlen sich keine elliptische Kurve über ergibt.
- Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in für die Restklassengruppe zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe .
- Durch Angabe von Matrizen.
- Als Kombination der beiden Erzeuger und von (vergleiche Satz 9.2 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))).
- Anhang
Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper mit kurzer Weierstraßgleichung . Es sei der unendlich ferne Punkt als neutrales Element festgelegt.
Dann ist die Negation auf durch
und die Addition auf durch die rationalen Ausdrücke
mit
und
gegeben.
Es seien elliptische Kurven über einem Körper und sei
eine Isogenie.
Dann ist ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.
Es sei
die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform über einem Körper mit . Wir definieren die Abbildung (und entsprechend )
durch