Kurs:Elliptische Kurven/1/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 10 5 2 5 4 4 2 3 2 5 2 10 4 64



Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein glatter Punkt auf einer ebenen algebraischen Kurve .
  2. Eine elliptische Kurve.
  3. Ein Gitter in den komplexen Zahlen .
  4. Die Verzweigungsordnung zu einer Erweiterung von diskreten Bewertungsringen.
  5. Die Divisorenklassengruppe einer glatten irreduziblen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
  6. Die Zeta-Funktion zu einer Varietät über einem endlichen Körper .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über streckungsäquivalente Gitter und komplexe Tori.
  2. Der Satz über den Grad der Multiplikationsabbildung auf einer elliptischen Kurve.
  3. Der Satz von Mordell-Weil für elliptische Kurven.


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen Punkte, wie kongruente Zahlen und elliptische Kurven zusammenhängen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Finde acht Punkte mit ganzzahligen Komponenten, die die Bedingung

erfüllen.


Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene Kurve in über einem Körper .

  1. Zeige, dass bei der Punkt ein singulärer Punkt der Kurve ist.
  2. Zeige, dass die Kurve bei glatt ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik

mit der Geraden .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme auf der durch

gegebenen elliptischen Kurve über die Gruppenstruktur von .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Gitter. Zeige, dass zu elliptischen Funktionen (bezüglich ) auch und elliptisch sind.


Aufgabe * (3 Punkte)

Finde für das Gitter das Element im Fundamentalbereich derart, dass streckungsäquivalent zu ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige mit Satz 15.8 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)), dass der Endomorphismenring einer elliptischen Kurve die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform über einem Körper mit . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen und , wenn mit dem -adischen Standardbetrag versehen ist.


Aufgabe * (10 (1+1+1+4+3) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern .

  1. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
  3. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  4. Bestimme, für welche Primzahlen sich keine elliptische Kurve über ergibt.
  5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in für die Restklassengruppe zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe .

  1. Durch Angabe von Matrizen.
  2. Als Kombination der beiden Erzeuger und von (vergleiche Satz 9.2 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022))).




Anhang


Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper mit kurzer Weierstraßgleichung . Es sei der unendlich ferne Punkt als neutrales Element festgelegt.

Dann ist die Negation auf durch

und die Addition auf durch die rationalen Ausdrücke

mit

und

gegeben.



Es seien elliptische Kurven über einem Körper und sei

eine Isogenie.

Dann ist ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.



Es sei

die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform über einem Körper mit . Wir definieren die Abbildung (und entsprechend )

durch