Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/11/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 8 3 1 2 4 3 2 2 4 4 4 4 2 2 2 4 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bijektive Abbildung
  2. Eine lineare (oder totale) Ordnung auf einer Menge .
  3. Ein kommutativer Halbring.
  4. Die Kommensurabilität von zwei Strecken und .
  5. Das arithmetische Mittel zu Elementen in einem angeordneten Körper .
  6. Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.


Lösung

  1. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
  2. Eine Ordnungsrelation auf heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.
  3. Ein kommutativer Halbring ist eine Menge mit Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
    1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
    2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
    3. Es gilt das Distributivgesetz, also
      für alle .
  4. Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.
  5. Unter dem arithmetischen Mittel der Zahlen versteht man den Bruch
  6. Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

    die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit der Multiplikation auf einem Peano-Modell.
  2. Der Vergleichssatz für natürliche Zahlen im Zehnersystem.
  3. Das Umformungsprinzip für Gleichungen.


Lösung

  1. Auf den natürlichen Zahlen gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung

    die

    erfüllt.
  2. Es seien

    und

    zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem. Dann ist

    genau dann, wenn

    oder wenn ist und wenn es ein , , derart gibt, dass

    ist.
  3. Es sei

    eine Gleichung in der Variablen über einem gegebenen Zahlenbereich . Es sei

    eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

    1. Wenn eine Lösung der Gleichung ist, so ist auch eine Lösung der umgeformten Gleichung
    2. Wenn injektiv ist, so ist genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn eine Lösung der umgeformten Gleichung

      ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?


Lösung

Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.


Lösung

Da die Abbildung insbesondere die Null respektieren soll, muss

sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, muss

gelten. Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen

Ebenso muss

u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element aus von aus durch die Nachfolgerabbildung schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von nach .

Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge

Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für an. Wegen

gehört . Wenn ist, so ist also

für ein . Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist

d.h. auch . Daher ist unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also . Zum Nachweis der Injektivität seien verschieden. und zwar sei ein (direkter oder) höherer Nachfolger von . Dann ist der entsprechende Nachfolger von und insbesondere davon verschieden, da das Nachfolgernehmen in injektiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge und eine Abbildung. Es sei die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen gibt mit .


Lösung

Da endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge endlich, da es für jedes Element nur viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen , , gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen mit


Aufgabe (1 Punkt)

Wie oft sagt man „bitte“, wenn man dreimal „bitte, bitte, bitte, bitte“ sagt.


Lösung

Man sagt - mal „bitte“.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.


Lösung

Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form und mit . Ihre Differenz ist

Dies ist eine ungerade Zahl. Umgekehrt kann man eine ungerade Zahl als mit schreiben, und die Gleichungskette zeigt, dass die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den binomischen Lehrsatz (für einen kommutativen Halbring) für den Exponenten aus dem binomischen Lehrsatz für den Exponenten .


Lösung

Seien Elemente in einem kommutativen Halbring . Der binomische Lehrsatz für besagt

Somit ist

und dies besagt der binomische Lehrsatz für den Exponenten .


Aufgabe (3 Punkte)

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?


Lösung

Das Pickelpaar und die drei übrigen einzelnen Pickel können als vier Pickelfelder betrachtet werden, die in beliebiger Reihenfolge beackert werden könnnen. Dafür gibt es Möglichkeiten. Bei jeder dieser Reihenfolge hat man beim Pickelpaar die freie Wahlmöglichkeit, welcher zuerst drankommt. Daher gibt es insgesamt

Möglichkeiten.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Lösung

Der Induktionsanfang für ist durch

gesichert. Sei also die Aussage für ein schon bewiesen und betrachten wir die Aussage für . Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.


Lösung

Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen

woraus direkt die Teileranzahl
ablesbar ist. Da klein sein soll, können wir direkt mit den ersten Primzahlen arbeiten und ferner

annehmen. Bei ist

welches Teiler besitzt, ist schon zu groß. Bei besitzt (wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf)

Teiler,

hat Teiler,

hat Teiler,

Bei besitzt

Teiler,

hat Teiler,

ist zu groß,

hat Teiler. Bei besitzt

Teiler.

ist zu groß. Wegen

kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt unter allen Zahlen unterhalb von die maximale Anzahl an Teilern, nämlich .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu und der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.


Lösung

Die Reste seien mit bezeichnet. Wenn ein gemeinsamer Teiler von und von ist, so zeigt die Beziehung

dass auch ein Teiler von und damit ein gemeinsamer Teiler von und von ist. Die Umkehrung folgt genauso. Daraus folgt mit der Gleichungskette

dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und berechnet.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung

injektiv und ob sie surjektiv ist.


Lösung

Seien und aus gegeben, die unter auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist

Durch beidseitige Multiplikation mit mit hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist

und die Abbildung ist injektiv.

Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise nicht im Bild liegt. Wäre nämlich

so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.


Lösung

Nehmen wir an, dass nicht größer als ist. Dann ist

und somit wäre nach Fakt *****  (7) sofort

im Widerspruch zu Fakt *****  (1).


Aufgabe (2 Punkte)

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).


Lösung

Milliliter sind Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten

Liter Milch getrunken.

Dabei hat er Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also

In Prozent ist der Anteil ca. Prozent.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von .


Lösung

Es ist

und

daher ist

also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion zu einer Basis streng wachsend ist.


Lösung

Sei also und . Wir müssen zeigen, dass

ist. Nach Fakt *****  (4) ist

mit . Wegen Fakt *****  (8) ist

und daher ist auch


Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

  1. Führe sämtliche Divisionen mit Rest

    für

    aus.

  2. Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von .
  3. Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von .


Lösung

  1. Es ist
  2. Man kann aus den ganzzahligen Anteilen der obigen Liste die Ziffern ablesen. Somit ist
  3. Es ist