Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 6 1 6 2 2 3 4 2 2 1 3 2 3 4 6 5 1 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Ein größter gemeinsamer Teiler der natürlichen Zahlen .
  3. Ein angeordneter kommutativer Ring .
  4. Die Eigenschaft, dass eine ganze Zahl eine ganze Zahl teilt.
  5. Ein Stammbruch.
  6. Eine Folge in einer Menge .


Lösung

  1. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  2. Eine natürliche Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn unter allen gemeinsamen Teilern der der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.
  3. Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften
    1. Aus folgt für beliebige ,
    2. Aus folgt ,

    erfüllt.

  4. Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt, wenn es eine ganze Zahl derart gibt, dass ist.
  5. Eine rationale Zahl der Form , , heißt Stammbruch.
  6. Eine Folge in ist eine Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
  2. Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.
  3. Der Satz über das Wachstumsverhalten der (ganzzahligen) Exponentialfunktionen.


Lösung

  1. Für jede natürliche Zahl sei eine Aussage gegeben. Es gelte
    1. ist wahr.
    2. Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
    Dann gilt für alle .
  2. Es seien und positive natürliche Zahlen. Dann wird von genau dann geteilt, wenn für jede Primzahl die Beziehung
    gilt.
  3. Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion

    zur Basis die folgenden Eigenschaften.

    1. Bei ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
    2. Bei ist die Exponentialfunktion streng fallend.


Aufgabe (6 (2+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

  1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
  2. Es sei die Menge der Töpfe und die Menge der Deckel. Es sei ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für und ) besagt, dass auf passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
  3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
  4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?


Lösung

  1. Erste Aussage: Für jeden Topf gibt es einen von diesem jeweiligen Topf abhängigen und zu diesem Topf passenden Deckel. Zweite Aussage: Es gibt einen bestimmten Deckel, der gleichzeitig für überhaupt alle Töpfe gleichermaßen passt.
  2. Die erste Aussage ist

    die zweite Aussage ist

  3. Nein, es kann ja sein, dass es beispielsweise in der Küche für die drei Töpfe jeweils den passenden Deckel gibt, es aber auch noch einen ganz anderen Deckel gibt, der mit keinem Topf was zu tun hat.
  4. Das alltägliche Sprachverständnis versucht, Aussagen sinnvoll zu interpretieren. Da die Aussage, dass es wirklich nur einen Deckel gibt, der gleichzeitig für alle Töpfe passt, offenbar absurd ist, versteht man auch die zweite Formulierung im Sinne der ersten sinnvollen Aussage.


Aufgabe (1 Punkt)

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?


Lösung

Vorvorvorvorvorvorgestern.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge.


Lösung

Seien die bijektiven Abbildungen

und

gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Fakt *****  (3) wieder bijektiv ist, ist auch

bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung

vorliegt, dass dann

ist. Wenn

ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch

Seien nun nicht , so dass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei der Vorgänger von und der Vorgänger von . Wir setzen

Dann gibt es durch die Herausnahme von bzw. eine bijektive Abbildung

Nach Fakt ***** gibt es eine bijektive Abbildung zwischen und . Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen und . Mit dieser Überlegung kann man die beiden Zahlen und durch ihre jeweiligen Vorgänger und ersetzen und damit um eins kleiner machen (die Existenz der bijektiven Abbildung bleibt erhalten). Diese Überlegung kann man so lange wiederholen, bis eine der reduzierten Zahlen gleich ist. Dann muss aber nach der Eingangsüberlegung die andere reduzierte Zahl ebenfalls gleich sein. Da die Nachfolgerabbildung injektiv ist, folgt daraus .


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Lösung

  1. Es ist
  2. Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle das kleine Einmaleins im Sechsersystem.


Lösung

Das kleine Einmaleins im Sechsersystem ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien die ersten Primzahlen. Finde eine Schranke, unterhalb der es eine weitere Primzahl geben muss.


Lösung

Wir setzen

und behaupten dass es (einschließlich) unterhalb von eine weitere Primzahl geben muss. Die Zahl besitzt nämlich eine Primfaktorzerlegung und insbesondere einen Primteiler mit

Diese Primzahl ist von allen Primzahlen , , verschieden, da bei Division durch diese Primzahlen stets den Rest besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Formel

durch Induktion nach .


Lösung

Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und von Fakt *****


Aufgabe (2 Punkte)

Vor einem Fußballspiel begrüßt jeder der elf Spieler einer Mannschaft jeden Spieler der anderen Mannschaft, jeder Spieler begrüßt die vier Unparteiischen und diese begrüßen sich alle untereinander. Wie viele Begrüßungen finden statt?


Lösung

Die Anzahl der Begrüßungen ist


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.


Lösung

Es ist

darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von sind . Die trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne


Lösung

Das Ergebnis ist , da der Exponent gerade ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt. Dabei darf die Division mit Rest für natürliche Zahlen verwendet werden.


Lösung

Bei liegt das Ergebnis unmittelbar aufgrund der Division mit Rest für natürliche Zahlen vor. Sei also . Dann ist und die Division mit Rest für natürliche Zahlen ergibt

mit und zwischen und . Negation dieser Gleichung liefert

Bei liegt unmittelbar das gewünschte Ergebnis vor. Sei also . Dann ist

und

liegt zwischen und .


Aufgabe (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position (die Koordinaten seien mit und bezeichnet) und schaut in die positive -Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um Grad und macht einen Schritt nach links.

Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?


Lösung

Sie befindet sich in Position und schaut in die positive -Richtung.


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es seien positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

  1. Zeige, dass bei teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
  2. Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.


Lösung

  1. Es seien und teilerfremd und es sei eine Primzahl. Wenn den Nenner teilt, so teilt es nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren, sagen wir . Dann teilt es wegen der Teilerfremdheit nicht auch . Somit teilt es auch nicht und Zähler und Nenner sind teilerfremd.
  2. Sei

    Dann ist

    und dies ist keine teilerfremde Darstellung.


Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.


Lösung Dreisatz/Problemstellung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass jede rationale Zahl eine eindeutige Darstellung der Form

besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten sind.


Lösung

Zum Beweis der Existenz sei

mit (sonst wäre die Zahl gleich ) und . Wir schreiben die Zahlen in ihrer Primfaktorzerlegung, also

und

wobei wir annehmen dürfen, dass sich beide Produkte über die gleichen Primzahlen erstrecken (und manche Exponenten gleich sind). Dann ist unter der Verwendung von Potenzgesetzen

mit . Zum Beweis der Eindeutigkeit sei

mit , wobei wir annehmen können, dass sich die Produkte über die gleiche endliche Menge von Primzahlen erstrecken. Das Vorzeichen muss links und rechts gleich sein, da eine negative rationale Zahl nicht mit einer positiven rationalen Zahl übereinstimmen kann. Wir können also annehmen, dass zwei positive Zahlen vorliegen. Wenn ein Exponent negativ ist, so können wir mit beidseitig multiplizieren und erhalten so letztlich eine Gleichheit, in der nur noch nichtnegative Exponenten vorkommen und somit positive natürliche Zahlen dastehen. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ergibt, dass dann die Exponenten übereinstimmen müssen. Wegen der Abziehregel müssen auch die ursprünglichen Exponenten gleich gewesen sein.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)

und

Zeige, dass mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.


Lösung

Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die und das neutrale Element des Minimums ist , da ja nur Elemente aus dem rationalen Einheitsintervall vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen (wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)

bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in und symmetrisch ist, können wir annehmen. Bei

ergibt sich links und rechts ebenfalls . Bei

ergibt sich links

und rechts ebenfalls

Bei

ergibt sich links

und rechts ebenfalls


Aufgabe (1 Punkt)

Im Bruch

sind Zähler und Nenner im Strichsystem angegeben. Man gebe die entsprechende gekürzte Darstellung an.


Lösung

Im Zähler stehen und im Nenner Striche, der gekürzte Bruch ist somit , also gleich

im Strichsystem.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung der Halbierung eines Dezimalbruches korrekt ist.


Lösung

Es sei

gegeben und es sei mit und gleich oder und

Da ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis mit multiplizieren und zeigen, dass man so zurückerhält. Es ist

wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da und gleich sind.