Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/12/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	6	1	6	2	2	3	4	2	2	1	3	2	3	3	6	5	1	5	63

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

2. Ein größter gemeinsamer Teiler der natürlichen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$.
3. Ein angeordneter kommutativer Ring ${}R$.
4. Die Eigenschaft, dass eine ganze Zahl ${}a$ eine ganze Zahl ${}b$ teilt.
5. Ein Stammbruch.
6. Eine Folge in einer Menge ${}M$.

Lösung

1. Die Abbildung

   $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

   heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

2. Eine natürliche Zahl ${}g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn ${}g$ unter allen gemeinsamen Teilern der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.
3. Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „${}\geq$“ auf ${}R$ gibt, die die beiden Eigenschaften
   1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in R$,
   2. Aus ${}a,b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$,

   erfüllt.

4. Man sagt, dass die ganze Zahl ${}a$ die ganze Zahl ${}b$ teilt, wenn es eine ganze Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist.
5. Eine rationale Zahl der Form ${}{\frac {1}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, heißt Stammbruch.
6. Eine Folge in ${}M$ ist eine Abbildung

   $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
2. Das Exponentenkriterium für die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen.
3. Der Satz über das Wachstumsverhalten der (ganzzahligen) Exponentialfunktionen.

Lösung

1. Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte
   1. ${}A(0)$ ist wahr.
   2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.
   Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.
2. Es seien ${}n$ und ${}k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird ${}n$ von ${}k$ genau dann geteilt, wenn für jede Primzahl ${}p$ die Beziehung

   ${}{\nu _{p}(n)}\geq {\nu _{p}(k)}\,$

   gilt.
3. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann besitzt die (ganzzahlige) Exponentialfunktion

   $\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

   zur Basis ${}b$ die folgenden Eigenschaften.

   1. Bei ${}b>1$ ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
   2. Bei ${}b<1$ ist die Exponentialfunktion streng fallend.

Aufgabe (6 (2+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
2. Es sei ${}T$ die Menge der Töpfe und ${}D$ die Menge der Deckel. Es sei ${}P$ ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für ${}x\in T$ und ${}y\in D$) ${}P(x,y)$ besagt, dass ${}y$ auf ${}x$ passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?

Lösung

1. Erste Aussage: Für jeden Topf gibt es einen von diesem jeweiligen Topf abhängigen und zu diesem Topf passenden Deckel. Zweite Aussage: Es gibt einen bestimmten Deckel, der gleichzeitig für überhaupt alle Töpfe gleichermaßen passt.
2. Die erste Aussage ist

   $\forall x(x\in T\rightarrow \exists y(y\in D\wedge P(x,y))),$

   die zweite Aussage ist

   $\exists y(y\in D\wedge \forall x(x\in T\rightarrow P(x,y))).$

3. Nein, es kann ja sein, dass es beispielsweise in der Küche für die drei Töpfe jeweils den passenden Deckel gibt, es aber auch noch einen ganz anderen Deckel gibt, der mit keinem Topf was zu tun hat.
4. Das alltägliche Sprachverständnis versucht, Aussagen sinnvoll zu interpretieren. Da die Aussage, dass es wirklich nur einen Deckel gibt, der gleichzeitig für alle Töpfe passt, offenbar absurd ist, versteht man auch die zweite Formulierung im Sinne der ersten sinnvollen Aussage.

Aufgabe (1 Punkt)

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?

Lösung

Vorvorvorvorvorvorgestern.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge.

Lösung

Es seien die bijektiven Abbildungen

$\varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$

und

$\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$

gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Lemma 6.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (3) wieder bijektiv ist, ist auch

$\psi ^{-1}\circ \varphi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$

bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung

$\theta \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}$

vorliegt, dass dann

${}n=k\,$

ist. Dies zeigen wir durch Induktion nach ${}n$. Wenn ${}n=0$ ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch ${}k=0$. Es seien nun ${}n,k$ nicht ${}0$, sodass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei ${}m$ der Vorgänger von ${}n$ und ${}\ell$ der Vorgänger von ${}k$. Diese Zahlen sind eindeutig bestimmt, da die Nachfolgerabbildung injektiv ist. Wir setzen

${}z=\theta (n)\in \{1,\ldots ,k\}\,.$

Dann gibt es nach der Herausnahme von ${}n$ bzw. ${}z$ eine bijektive Abbildung

$\{1,\ldots ,m\}={\{1,\ldots ,n\}}\setminus \{n\}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}.$

Nach Lemma 6.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gibt es eine bijektive Abbildung zwischen ${}\{1,\ldots ,\ell \}$ und ${}\{1,\ldots ,k\}\setminus \{z\}$. Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen ${}\{1,\ldots ,m\}$ und ${}\{1,\ldots ,\ell \}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist ${}m=\ell$, also auch

${}n=m'=\ell '=k\,.$

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}d$
${}b$	${}d$	${}a$	${}a$	${}a$
${}c$	${}d$	${}b$	${}b$	${}a$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}c$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $a\star (b\star (c\star d)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Lösung

1. Es ist

   ${}a\star (b\star (c\star d))=a\star (b\star a)=a\star d=d\,.$

2. Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle das kleine Einmaleins im Sechsersystem.

Lösung

Das kleine Einmaleins im Sechsersystem ist

${}\cdot$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}2$	${}0$	${}2$	${}4$	${}10$	${}12$	${}14$
${}3$	${}0$	${}3$	${}10$	${}13$	${}20$	${}23$
${}4$	${}0$	${}4$	${}12$	${}20$	${}24$	${}32$
${}5$	${}0$	${}5$	${}14$	${}23$	${}32$	${}41$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}p_{1},\ldots ,p_{n}$ die ersten ${}n$ Primzahlen. Finde eine Schranke, unterhalb der es eine weitere Primzahl geben muss.

Lösung

Wir setzen

${}N:=p_{1}\cdots p_{n}+1\,$

und behaupten dass es (einschließlich) unterhalb von ${}N$ eine weitere Primzahl geben muss. Die Zahl ${}N$ besitzt nämlich eine Primfaktorzerlegung und insbesondere einen Primteiler ${}q$ mit

${}q\leq N\,.$

Diese Primzahl ${}q$ ist von allen Primzahlen ${}p_{i}$, ${}1\leq i\leq n$, verschieden, da ${}N$ bei Division durch diese Primzahlen stets den Rest ${}1$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$

durch Induktion nach ${}n$.

Lösung

Für ${}n=0$ steht einerseits ${}2^{0}=1$ und andererseits ${}1^{0}\cdot 1^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für ${}n$ bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und von [[Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]]

${}{\begin{aligned}2^{n+1}&=2\cdot 2^{n}\\&=(1+1)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)+1\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}+1\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Vor einem Fußballspiel begrüßt jeder der elf Spieler einer Mannschaft jeden Spieler der anderen Mannschaft, jeder Spieler begrüßt die vier Unparteiischen und diese begrüßen sich alle untereinander. Wie viele Begrüßungen finden statt?

Lösung

Die Anzahl der Begrüßungen ist

${}11\cdot 11+2\cdot 11\cdot 4+{\binom {4}{2}}=121+88+6=215\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.

Lösung

Es ist

${}7=4+1+1+1\,$

darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von ${}7$ sind ${}0,1,4$. Die ${}0$ trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die ${}4$ ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.

Aufgabe (1 Punkt)

Berechne

$(-1)^{73420504063658}.$

Lösung

Das Ergebnis ist ${}1$, da der Exponent gerade ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q,r$ mit ${}0\leq r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt. Dabei darf die Division mit Rest für natürliche Zahlen verwendet werden.

Lösung

Bei ${}n\geq 0$ liegt das Ergebnis unmittelbar aufgrund der Division mit Rest für natürliche Zahlen vor. Es sei also ${}n<0$. Dann ist ${}-n\in \mathbb {N}$ und die Division mit Rest für natürliche Zahlen ergibt

${}-n=pd+s\,$

mit ${}p\in \mathbb {N}$ und ${}s$ zwischen ${}0$ und ${}d-1$. Negation dieser Gleichung liefert

${}n=(-p)d-s\,.$

Bei ${}s=0$ liegt unmittelbar das gewünschte Ergebnis vor. Es sei also ${}s>0$. Dann ist

${}n=(-p)d-s=(-p)d-d+(d-s)=(-p-1)d+(d-s)\,$

und

${}r=d-s\,$

liegt zwischen ${}0$ und ${}d-1$.

Aufgabe (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position ${}(-2,3)\in \mathbb {Z} ^{2}$ (die Koordinaten seien mit ${}x$ und ${}y$ bezeichnet) und schaut in die positive ${}x$-Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um ${}180$ Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um ${}360$ Grad und macht einen Schritt nach links.

Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?

Lösung

Sie befindet sich in Position ${}(-1,-3)$ und schaut in die positive ${}y$-Richtung.

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es seien ${}a,b$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

${}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.$

1. Zeige, dass bei ${}a,b$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
2. Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

Lösung

1. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und es sei ${}p$ eine Primzahl. Wenn ${}p$ den Nenner ${}ab$ teilt, so teilt es nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren, sagen wir ${}a$. Dann teilt es wegen der Teilerfremdheit nicht auch ${}b$. Somit teilt es auch nicht ${}a+b$ und Zähler und Nenner sind teilerfremd.
2. Sei

   ${}a=b=2\,.$

   Dann ist

   ${}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2+2}{2\cdot 2}}={\frac {4}{4}}\,$

   und dies ist keine teilerfremde Darstellung.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.

Lösung Dreisatz/Problemstellung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass jede rationale Zahl ${}z\neq 0$ eine eindeutige Darstellung der Form

${}z=\pm \prod _{p}p^{\nu _{p}(z)}\,$

besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten ${}{\nu _{p}(z)}\in \mathbb {Z}$ sind.

Lösung

Zum Beweis der Existenz sei

${}z={\frac {a}{b}}\,$

mit ${}a\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ (sonst wäre die Zahl gleich ${}0$) und ${}b\in \mathbb {N} _{+}$. Wir schreiben die Zahlen in ihrer Primfaktorzerlegung, also

${}a=\pm \prod _{p}p^{\nu _{p}(a)}\,$

und

${}b=\prod _{p}p^{\nu _{p}(b)}\,,$

wobei wir annehmen dürfen, dass sich beide Produkte über die gleichen Primzahlen erstrecken (und manche Exponenten gleich ${}0$ sind). Dann ist unter der Verwendung von Potenzgesetzen

${}{\begin{aligned}z&={\frac {a}{b}}\\&={\frac {\pm \prod _{p}p^{\nu _{p}(a)}}{\prod _{p}p^{\nu _{p}(b)}}}\\&=\pm {\left(\prod _{p}p^{\nu _{p}(a)}\right)}{\left(\prod _{p}p^{\nu _{p}(b)}\right)}^{-1}\\&=\pm {\left(\prod _{p}p^{\nu _{p}(a)}\right)}{\left(\prod _{p}p^{-{\nu _{p}(b)}}\right)}\\&=\pm \prod _{p}p^{{\nu _{p}(a)}-{\nu _{p}(b)}}\end{aligned}}$

mit ${}{\nu _{p}(a)}-{\nu _{p}(b)}\in \mathbb {Z}$. Zum Beweis der Eindeutigkeit sei

${}\pm \prod _{p}p^{r_{p}}=\pm \prod _{p}p^{s_{p}}\,$

mit ${}r_{p},s_{p}\in \mathbb {Z}$, wobei wir annehmen können, dass sich die Produkte über die gleiche endliche Menge von Primzahlen erstrecken. Das Vorzeichen muss links und rechts gleich sein, da eine negative rationale Zahl nicht mit einer positiven rationalen Zahl übereinstimmen kann. Wir können also annehmen, dass zwei positive Zahlen vorliegen. Wenn ein Exponent ${}r_{p}$ negativ ist, so können wir mit ${}p^{-r_{p}}$ beidseitig multiplizieren und erhalten so letztlich eine Gleichheit, in der nur noch nichtnegative Exponenten vorkommen und somit positive natürliche Zahlen dastehen. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ergibt, dass dann die Exponenten übereinstimmen müssen. Wegen der Abziehregel müssen auch die ursprünglichen Exponenten gleich gewesen sein.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}M={\left\{x\in \mathbb {Q} \mid 0\leq x\leq 1\right\}}\,.$

Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)

$M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {max} (a,b),$

und

$M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {min} (a,b).$

Zeige, dass ${}M$ mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.

Lösung

Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die ${}0$ und das neutrale Element des Minimums ist ${}1$, da ja nur Elemente aus dem rationalen Einheitsintervall vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen (wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))\,$

bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in ${}b$ und ${}c$ symmetrisch ist, können wir ${}b\leq c$ annehmen. Bei

${}a\leq b\leq c\,$

ergibt sich links ${}a$ und rechts ebenfalls ${}\operatorname {max} (a,a)=a$. Bei

${}b\leq a\leq c\,$

ergibt sich links

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=a\,$

und rechts ebenfalls

${}\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,a)=a\,.$

Bei

${}b\leq c\leq a\,$

ergibt sich links

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=c\,$

und rechts ebenfalls

${}\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,c)=c\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Im Bruch

${\frac {{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}}{{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}}}$

sind Zähler und Nenner im Strichsystem angegeben. Man gebe die entsprechende gekürzte Darstellung an.

Lösung

Im Zähler stehen ${}9$ und im Nenner ${}12$ Striche, der gekürzte Bruch ist somit ${}{\frac {3}{4}}$, also gleich

${\frac {{|}{|}{|}}{{|}{|}{|}{|}}}$

im Strichsystem.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung der Halbierung eines Dezimalbruches korrekt ist.

Lösung

Es sei

${}z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

gegeben und es sei ${}a_{i}=2b_{i}+r_{i}$ mit ${}b_{i}\in \mathbb {N}$ und ${}r_{i}$ gleich ${}0$ oder ${}1$ und

${}c_{i}=b_{i}+5r_{i+1}\,.$

Da ${}a_{i}\leq 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis ${}\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}$ mit ${}2$ multiplizieren und zeigen, dass man so ${}z$ zurückerhält. Es ist

${}{\begin{aligned}2\cdot {\left(\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\right)}&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2\cdot {\left(b_{i}+5r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(2b_{i}+10r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }2b_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(a_{i}-r_{i}\right)}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }a_{i}10^{i}-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=z-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{j=k}^{\ell +1}r_{j}10^{j}\\&=z,\end{aligned}}$

wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da ${}r_{k-1}$ und ${}r_{\ell +1}$ gleich ${}0$ sind.