Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 4 1 7 2 5 3 3 2 7 3 5 1 4 1 3 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Komplement zu einer Teilmenge in einer Menge .
  2. Eine konstante Abbildung .
  3. Die Summe zweier natürlicher Zahlen und .
  4. Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge .
  5. Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen .
  6. Eine fallende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


Lösung

  1. Es heißt

    das Komplement von .

  2. Die Abbildung heißt konstant, wenn es ein mit für alle gibt.
  3. Die Summe ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ausgehend -fach den Nachfolger nimmt.
  4. Das Element heißt das Maximum von , wenn ist und wenn für alle gilt.
  5. Eine natürliche Zahl heißt gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt für .
  6. Die Abbildung heißt fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Differenz und endliche Mengen.
  2. Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
  3. Der Satz über die algebraische Struktur der Dezimalbrüche.


Lösung

  1. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|endliche Menge]] mit Elementen und es sei

    eine Teilmenge, die Elemente besitze. Dann besitzt

    genau Elemente.
  2. Jede natürliche Zahl , , besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
  3. Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Eine Geldfälscherin stellt - und -Euro-Scheine her.

  1. Zeige, dass es nur endlich viele (volle) Eurobeträge gibt, die sie nicht (exakt) begleichen kann.
  2. Was ist der höchste Betrag, den sie nicht begleichen kann?
  3. Beschreibe (ohne weitere Begründung) die Menge der Eurobeträge, die sie mit ihren Scheinen nicht begleichen kann.


Lösung

  1. Es ist

    und

    diese drei aufeinander folgenden Zahlen kann sie also begleichen. Alle höheren Zahlen kann sie auch begleichen, indem sie zur Darstellung von bzw. einfach eine gewisse Anzahl an -Euroscheinen hinzugibt.

  2. Die ist nicht darstellbar. In einer möglichen Darstellung der mit und kann höchstens eine vorkommen, da schon zu groß ist. Es ist aber

    und da kein Vielfaches von ist kann man diese Zahl auch nicht nur mit darstellen. Alle Zahlen darüber kann sie nach Teil (1) begleichen. Also ist die größte Zahl, die sie nicht begleichen kann.

  3. Nicht begleichbar sind


Aufgabe (1 Punkt)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller gehen auf die gleiche Schule. Heinz wohnt vier Kilomter von der Schule entfernt, Mustafa dagegen drei Kilometer. Was kann man darüber sagen, wie weit die beiden voneinander entfernt wohnen?


Lösung

Die beiden wohnen maximal Kilometer und minimal einen Kilometer auseinander.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Multiplikation und endliche Mengen.


Lösung

Wir behaupten, dass die Abbildung

bijektiv ist. Zum Beweis der Surjektivität sei vorgegeben. Dieses (ganzzahlige) Intervall kann man in die disjunkten Intervalle

unterteilen. Das Element gehört somit zu einem dieser Intervalle, d.h. es gibt ein mit

mit zwischen und . Dann ist

mit einem zwischen und und gehört somit zum Bild. Zum Beweis der Injektivität seien

gegeben, die auf das gleiche Element abbilden. Es gilt also

Da und beide zu gehören, sind die Summen jeweils maximal gleich bzw. . Daher können die Zahlen nur dann gleich sein, wenn

und dann nach der Abziehregel auch

ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass das Produkt von zwei ungeraden natürlichen Zahlen ungerade ist.


Lösung

Wir setzen die beiden ungeraden Zahlen als

und

an. Dann ist

wieder ungerade.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Beweise für die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen

  1. die Verträglichkeit mit der Addition,
  2. die Verträglichkeit mit der Multiplikation.


Lösung

  1. Wir beweisen die Aussage duch Induktion über . Bei ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für gilt. Bei ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei ist nach Fakt *****  (3) und somit

    Dies zeigt zugleich, dass aus auch folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus die Beziehung .

  2. Wir führen Induktion nach , die Fälle sind klar. Sei die Aussage für bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit der Addition


Aufgabe (3 Punkte)

Squares in a square grid.svg

Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge ? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem „Gitter“ liegen, ein Punkt gelte nicht als Quadrat.


Lösung

Die möglichen Seitenlängen sind . Ein Unterquadrat ist durch die Lage des Eckes links oben eindeutig bestimmt, man muss bei fixierter Seitenlänge nur berücksichtigen, dass das Teilquadrat ganz im Grundquadrat liegt. Somit gibt es für die Seitenlänge eine Möglichkeit, für die Seitenlänge vier Möglichkeiten, für die Seitenlänge neun Möglichkeiten, für die Seitenlänge Möglichkeiten und für die Seitenlänge Möglickeiten, Insgesamt gibt es also

Unterquadrate.


Aufgabe (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für eine Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.


Lösung

Wir wollen zeigen, dass man zu jedem mit Punkten zur Klausur zugelassen wird. Dies folgt für unmittelbar aus der offiziellen Grenze. Wir betrachten und setzen . Dies ist eine nichtnegative Zahl, über die wir Induktion führen, die Aussage ist

Bei ist und dies reicht zur Zulassung. Sei nun die Aussage für irgendein bewiesen, d. h., mit Punkten wird man zugelassen. Es ist zu zeigen, dass die Aussage auch für gilt, d.h. dass man auch mit Punkten zugelassen wird. Wenn das aber nicht so wäre, so würde man mit Punkten zugelassen werden, aber nicht mit einem Punkt weniger, und es würde doch auf einen einzigen Punkt ankommen im Widerspruch zur Zusicherung des Professors.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Für eine Opernaufführung braucht man für die verschiedenen Rollen eine Altstimme, zwei Sopranstimmen, zwei Tenorstimmen und einen Bass. Im Ensemble stehen zwei Altstimmen, drei Sopranistinnen, vier Tenöre und drei Bässe zur Verfügung.

  1. Wie viele Besetzungsmöglichkeiten für die Rollen gibt es?
  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Mitwirkenden auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Rolle?


Lösung

  1. Für die Altrolle gibt es , für die Sopranrollen gibt es , für die Tenorrollen gibt es und für die Bassrolle gibt es Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

    Besetzungsmöglichkeiten.

  2. Wenn man sich fragt, wer überhaupt eingesetzt wird, so muss man aus den jeweiligen Stimmlagen eine passende Anzahl auswählen. Dies führt auf

    Möglichkeiten.


Aufgabe (7 (3+4) Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit und .

  1. Zeige
  2. Zeige (in )


Lösung

  1. Wegen

    ist nach Fakt *****  (3)

    Aufgrund des Distributivgesetzes für die Differenz bedeutet dies

    Addition von ergibt unter Bezug auf Fakt *****  (1)

    also

  2. Aufgrund des Distributivgesetzes für die Differenz ist

    Wir wollen zeigen, dass dies mit

    übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass die beiden Terme gleich sind, wenn man zu ihnen jeweils

    hinzuaddiert. Dies ergibt einerseits

    und andererseits nach Fakt *****  (2) und nach Fakt *****  (1)

    also das gleiche.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.


Lösung

Für ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein schon bewiesen ist und haben sie für zu zeigen. Dies ergibt sich aus

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung und in der fünften Zeile die binomische Formel angewendet haben.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine fixierte natürliche Zahl und

Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)

und

Zeige, dass mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.


Lösung

Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die und das neutrale Element des Minimums ist , da ja nur Elemente aus vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen (wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)

bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in und symmetrisch ist, können wir annehmen. Bei

ergibt sich links und rechts ebenfalls . Bei

ergibt sich links

und rechts ebenfalls

Bei

ergibt sich links

und rechts ebenfalls


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne

Minus eins hoch fünfundzwanzig Millionen dreihundertvierundachtzig Tausend zweihundertneunundsechzig.


Lösung

Das Ergebnis ist da der Exponent ungerade ist.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen .

  1. Bestimme für .
  2. Was ist die kleinste Zahl mit
  3. Was ist die kleinste Zahl mit


Lösung

  1. Es ist
  2. Wegen

    kommen in keine neuen Primteiler hinzu, also ist

    und ist die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.

  3. Genau dann ist

    wenn eine Primzahlpotenz , , ( Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von zwei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist , die Antwort ist also .


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer


Lösung

Es ist

also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Vierersystem

(das Ergebnis muss nicht gekürzt sein).


Lösung

Es ist

Die Multiplikationen berechnen wir einzeln. Es ist

und

Die obige Summe ergibt somit


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsmenge in für die Ungleichung


Lösung

Wir analysieren die Ungleichung

abhängig davon, ob die Beträge positiv oder negativ zu nehmen sind. Es ist

genau dann, wenn ist, und es ist

genau dann, wenn ist. Wegen führt dies auf die folgenden Fälle.

  1. Dann muss man die Bedingung

    betrachten, also

    bzw.

    Daher gehört zur Lösungsmenge.

  2. Dann muss man die Bedingung

    betrachten, also

    bzw.

    also

    Wegen

    führt dies auf die Lösungen .

  3. Dann muss man die Bedingung

    betrachten, die auf

    führt. Also in diesem Fall automatisch erfüllt ist. Daher gehört zur Lösungsmenge.

Die gesamte Lösungsmenge besteht daher aus allen mit oder .


Aufgabe (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier ( Liter) mit einem Alkoholgehalt von Prozent. Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?


Lösung

In der Flasche befindet sich

Alkohol. Somit gehen

in sein Blut. Der Anteil ist daher

Das sind Prozent bzw. Promille.