Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/4/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 6 | 6 | 3 | 5 | 4 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | 3 | 3 | 4 | 3 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Man nennt
die Differenzmenge „ ohne “.
- Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
- Die Differenz ist diejenige natürliche Zahl für die gilt.
- Die Addition wird gemäß einer Fallunterscheidung folgendermaßen definiert. Für natürliche Zahlen setzt man
- Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
- Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
Aufgabe (3 Punkte)
- Es sei ein kommutativer Halbring und es seien Elemente aus . Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz
- Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
- Die Untergruppen von sind genau die Teilmengen der Form
Aufgabe (2 Punkte)
Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von Cent begleichen?
Wir zählen zunächst die Möglichkeiten, mit den - und -Centmünzen die folgenden Beträge darzustellen:
Dann betrachten wir in jedem Fall, mit wie vielen -Centmünzen man jeweils noch unterhalb von Cent bleibt, der verbleibende Rest wird mit -Centmünzen aufgefüllt. Hierfür gibt es der Reihe nach
Diese Möglichkeiten für die Zweier muss man mit den obigen Möglichkeiten multiplizieren, das ergibt insgesamt
Möglichkeiten.
Aufgabe (2 Punkte)
Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay Stunden (in Paraguay wurde es Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von auf vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?
Da Paraguay auf der Südhalbkugel liegt, wird dort Ende März von der dortigen Sommerzeit auf die dortige Winterzeit umgestellt, dort wird also die Uhr zurückgestellt. Daher beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay danach ganze Stunden.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
eine surjektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge derart gibt, dass man als Abbildung
auffassen kann ( und unterscheiden sich nur hinsichtlich des Definitionsbereiches) und dass bijektiv ist.
Wegen der Surjektivität von gibt es zu jedem mindestens ein mit . Wir wählen nun zu jedem ein solches zugehöriges . Es sei die Vereinigung all dieser gewählten . Die auf eingeschränkte Abbildung
ist nach wie vor surjektiv, da ja jedes von einem (dem gewählten) erreicht wird. Die Abbildung ist injektiv, da es zu jedem in nur das eine gewählte Urbild gibt. Insgesamt ist also bijektiv.
Aufgabe (6 (2+1+3) Punkte)
Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.
- Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
- Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
- Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
- Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.
a) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?
b) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?
c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.
a) Zerstreutheit: Die sockenzerstreuten Tage sind jedenfalls zerstreut. Das Minimum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind . Das Maximum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig sockenzerstreut und schuhzerstreut war, das ergibt Tage.
Totale Zerstreutheit: Die total zerstreuten Tage sind insbesondere schuhzerstreut. Das Maximum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind Tage. Das Minimum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig schuh- und sockenzerstreut war, also .
b) Wegen
können alle Jahre des Tages zerstreut gewesen sein, also . Minimal waren Tage total zerstreut.
c) Es sei die Anzahl der sockenzerstreuten Tage, die Anzahl der schuhzerstreuten Tage, die Anzahl der zerstreuten Tage und die Anzahl der total zerstreuten Tage. Dann gilt die Formel
Beide Seiten der Formel sind additiv in den Tagen, sie muss also nur für einen Tag nachgewiesen werden. Wenn der Tag nicht zerstreut ist, steht beidseitig . Wenn der Tag sockenzerstreut ist, aber nicht schuhzerstreut (oder umgekehrt), so ist der Tag zerstreut, aber nicht total zerstreut, und beidseitig steht . Wenn der Tag total zerstreut ist, so steht beidseitig .
Aufgabe (6 (1+1+1+2+1) Punkte)
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung von
in sich selbst.
- Erstelle eine Wertetabelle für .
- Erstelle eine Wertetabelle für .
- Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
- Bestimme für jedes
das minimale
mit der Eigenschaft, dass
ist.
- Bestimme das minimale
mit der Eigenschaft, dass
für alle ist.
- Es ist
- Es ist
- Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass bijektiv ist. Nach Lemma 6.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
- Die Abbildungsvorschrift bewirkt
und
Für ist also und für ist .
- Bei sind nach Teil (4) die Zahlen wieder an ihrer Stelle, aber auch sind an ihrer Stelle, da ein Vielfaches von ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes die Zahl
ein Vielfaches von ist.
Induktionsanfang. Für ist
ein Vielfaches von . Induktionsschritt. Es sei nun die Aussage für bewiesen und betrachten wir den Ausdruck für . Dieser ist
wobei im vorletzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde (nämlich die Eigenschaft, dass ein Vielfaches von ist). Daher ist diese Zahl ein Vielfaches von .
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise die Existenz der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen.
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über . Für wählt man und . Es sei nun und die Aussage für kleinere Zahlen schon bewiesen. Nach Satz 14.1 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) mit gibt es eine Darstellung
mit zwischen und . Es ist , deshalb gilt nach Induktionsvoraussetzung die Aussage für . D.h. man kann
mit (bei ist dies als leere Summe zu lesen) und mit schreiben. Daher ist
eine Darstellung der gesuchten Art. Dabei ist für und .
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Gabi Hochster möchte sich die Fingernägel ihrer linken Hand (ohne den Daumennagel) lackieren, wobei die drei Farben zur Verfügung stehen. Sie möchte nicht, dass zwei benachbarte Finger die gleiche Farbe bekommen.
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sie nur zwei Farben verwendet?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sie alle drei Farben verwendet?
- Wenn nur zwei Farben verwendet werden, sagen wir die Farben und , so legt die Farbe auf dem Zeigefinger alles weitere fest, nämlich oder . Da es drei Möglichkeiten gibt, aus drei Farben zwei Farben auszuwählen, gibt es sechs Möglichkeiten, die Nägel mit nur zwei Farben in der beschriebenen Weise zu lackieren.
-
Wenn alle drei Farben vorkommen sollen, so kommt genau eine doppelt und die beiden anderen Farben einfach vor. Für die Wahl der doppelt verwendeten Farbe gibt es drei Möglichkeiten. Für die Auswahl der zwei Finger für diese Farbe gibt es grundsätzlich
Möglichkeiten, davon sind aber drei Möglichkeiten durch die Nachbarschatsbedingung ausgeschlossen. In jedem dieser Fälle hat man noch zwei Möglichkeiten, wie man die beiden anderen Farben verteilen soll. Also gibt es von diesem Typ
Möglichkeiten.
Aufgabe (2 Punkte)
Erläutere die Division mit Rest für natürliche Zahlen anhand zweier Eimer (das Fassungsvermögen der beiden Eimer sei ein Vielfaches von einem Liter).
Es gebe einen gefüllten (großen) Eimer mit Fassungsvermögen Liter und einen leeren (Schöpf-)Eimer mit Fassungsvermögen Liter. Mit dem kleinen Eimer kann man sukzessive den Inhalt des großen Eimers abschöpfen, indem man den kleinen Eimer vollmacht und somit bei jedem Schritt den Inhalt um Liter reduziert. Dies kann man solange machen, solange mindestens Liter im großen Eimer verblieben sind. Der Restbestand ist dann zwischen und Litern. Wenn
die Division mit Rest ist, so ist die Anzahl der Durchgänge und der Restbestand in Litern.
Aufgabe (2 Punkte)
Es ist
Damit ist das Inverse zu . Damit ist
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
- ist negativ.
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- ist kein Vielfaches von .
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.
Was ist ?
Wir müssen nur für die Primzahlen bestimmen, mit welcher Potenz sie in vorkommen. Wegen (2) kommt mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist kein Teiler von , da ja ein Teiler ist, und wegen (4) ist ein Teiler von . Wegen (4) kommt mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Es seien natürliche Zahlen mit .
- Bestimme .
- Bestimme .
Es sei
Dann ist
und somit ist ein Teiler von . In einem solchen Fall ist der Teiler der größte gemeinsame Teiler und das Vielfache das kleinste gemeinsame Vielfache. Also ist
und
Aufgabe (2 Punkte)
Ein Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Welches Angebot ist günstiger?
Wir bestimmen, wie viel die gleiche Menge an Äpfeln bei den beiden Verkäufern kostet. Um die beiden Angebote vergleichen zu können, berechnen wir den jeweiligen Preis für
Äpfel. Beim ersten Verkäufer muss man dafür
Euro bezahlen. Beim zweiten Verkäufer muss man dafür
Euro bezahlen. Das zweite Angebot ist also günstiger.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass die Größergleichrelation auf mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist.
Es sei , und mit positiven Nennern . Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt annehmen. Sei
also
Dann ist nach Lemma 19.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (2) auch
und somit ist
Wenn die beiden Brüche und beide sind, so sind alle Zähler und Nenner aus und dies überträgt sich auf , also ist auch dies .
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz über Wachstum und Injektivität für einen angeordneten Körper .
Es seien verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist oder , wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus
und insbesondere sind und verschieden, also ist die Abbildung injektiv.
Aufgabe (3 Punkte)
Wenn ganzzahlig ist, so ist auch das Negative davon ganzzahlig und die Gaußklammer gibt einfach die Zahl aus. Wenn umgekehrt nicht ganzzahlig ist, so ist
mit einer ganzen Zahl und
Dann ist
da echt zwischen und liegt.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass eine rationale Zahl genau dann ein Dezimalbruch ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form mit besitzt.
Wenn die rationale Zahl die Form besitzt, so kann man mit erweitern und erhält im Nenner , sodass ein Dezimalbruch vorliegt. Es sei nun die rationale Zahl
in gekürzter Darstellung gegeben, und sei vorausgesetzt, dass in der Primfaktorzerlegung von eine Primzahl
vorkommt. Wir schreiben
Nehmen wir an, dass die Zahl ein Dezimalbruch ist, dann gibt es eine Gleichung der Form
Dies bedeutet nach dem Überkreuzprinzip, dass
ist. Wegen der Teilerfremdheit ist kein Teiler von , müsste also wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in vorkommen, was aber nicht der Fall ist. Dies ist ein Widerspruch.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne durch mit dem Divisionsalgorithmus.
Es ist
Von dieser Stelle an wiederholen sich die Zahlen und es beginnt die Periode, das Ergebnis ist also