Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/7/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 | 4 | 4 | 4 | 1 | 2 | 5 | 3 | 2 | 8 | 3 | 4 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Die Menge
heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
- Man nennt
den Graphen der Abbildung .
- Eine
Verknüpfung
heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
- Das Element heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.
- Die beiden natürlichen Zahlen und heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
- Unter einem
gemischten Bruch
versteht man einen Ausdruck der Form
mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und .
Aufgabe (3 Punkte)
- Aus einer Gleichung mit und mit folgt .
- Die Anzahl der -elementigen Teilmengen in einer -elementigen Menge ist der Binomialkoeffizient
- Es sei ein
angeordneter Körper,
eine Teilmenge und
eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion. Dann ist
injektiv.
Aufgabe (1 Punkt)
Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.
Es spielen zwei Spieler gegeneinander, der eine gewinnt genau dann, wenn der andere verliert. Wenn einer also in der ersten Session verlieren kann, so kann auch einer (nämlich der andere) in der ersten Session gewinnen. Die Weisheit ist also unlogisch.
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
- Erstelle eine Wertetabelle, die für die natürlichen Zahlen von bis ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.
- Was ist der kleinste volle Geldbetrag, für den man mindestens vier Bargeldmittel einsetzen muss?
-
- Für die braucht man die vier Zahlen
für alle kleineren Zahlen reichen offenbar höchstens drei Geldmittel.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring durch Induktion über , wobei der Fall verwendet werden darf (dabei sind natürliche Zahlen und ).
Es sei die Aussage für ein bestimmtes bewiesen. Für Faktoren ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und unter Verwendung des Falles von zwei Faktoren
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass die einzigen natürlichen Zahlen, die die Gleichung
erfüllen, die und die sind.
Wegen und erfüllen die beiden Zahlen die Gleichung. Sei . Dann ist
und somit ist nach Satz 10.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
also ist .
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den Rest von bei Division durch .
Die folgenden Zahlen haben bei Division durch den gleichen Rest (da ein Vielfaches von ist).
Der Rest ist also .
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.
Es sei
und
Wir setzen
und
Dann ist
also ist auch das Produkt eine Summe von zwei Quadratzahlen.
Aufgabe (4 Punkte)
Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz
die nicht palindromisch ist.
Die Zahlen
lassen sich einfach mit dem binomischen Lehrsatz berechnen. Es sind
palindromisch, dagegen ist
nicht palindromisch.
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?
Wir können
annehmen. Das Produkt hat zumindest die Teiler
wobei allerdings welche identisch sein können. Da aber alle Zahlen größer als und untereinander verschieden sind, sind auch die Produkte mit zwei Faktoren untereinander und auch vom Gesamtprodukt verschieden. Ferner sind die Zweierprodukte von allen Zahlen verschieden, die in ihnen vorkommen. Wegen den Größenverhältnissen ist und . Es kann allenfalls
sein. Es gibt also mindestens Teiler. Wählt man , und , so ist
und dies hat in der Tat sieben Teiler.
Aufgabe (1 Punkt)
Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .
Es ist
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .
Die kommt in den Zahlen jeweils einmal vor und in nochmal zusätzlich mit einer weiteren Potenz. In kommt also der Primfaktor mit dem Exponenten vor. Wegen der geraden Zahlen kommt der Primfaktor öfters vor. In ist also die größte Zehnerpotenz und somit besitzt genau Nullen am Ende.
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von und .
Wir bestimmen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen mit Hilfe des euklidischen Algorithmus. Es ist
Sodann ist
Der der beiden Zahlen ist also . Daher ist das der beiden Zahlen nach Lemma 21.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gleich
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)
Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Schwere bzw. Kilogramm.
- Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
- Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.
- Wegen
kann man Kilo Sand abwiegen, indem man in die eine Schale dreimal das Fünfzigergewicht und in die andere zwölfmal das Zwölfergewicht drauflegt und die letzte Schale mit Sand auffüllt.
- Da beide Zahlen Vielfache von sind, kann man auch nur Vielfache von abwiegen. Zwei kann man in der Tat abwiegen, wegen
Indem man diese Situation vervielfacht, kann man jedes Vielfache von abwiegen.
Aufgabe (2 Punkte)
Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?
Der Teich enthält Kubikmeter Wasser. In einen Kubikmeter passen Liter und somit der Inhalt von Teekannen. In den Teich passen also
Teekannen. Somit befinden sich im Teich ca.
Kaulquappen.
Aufgabe (8 Punkte)
Beweise, dass die rationalen Zahlen einen Körper bilden.
- Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Es sei also
Dann ist
Ferner ist
Zu betrachtet man . Dann ist
- Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die
hat die Eigenschaft
es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl ist mit (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von verschieden) und daher ist auch der umgedrehte Bruch
eine rationale Zahl, und es gilt
- Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei
Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)
- Beschreibe in Worten, wie man den Term
ausrechnet.
- Schreibe die Funktion
als eine Hintereinanderschaltung von möglichst einfachen Abbildungen.
- Man nimmt die Zahl und nimmt davon die dritte Potenz, man multipliziert also die mit sich selbst und das Ergebnis nochmal mit . Dieses Ergebnis invertiert man. Das Ergebnis davon multipliziert man mit , das Ergebnis davon dividiert man durch und von diesem Ergebnis nimmt man das Negative.
- Wir betrachten die Abbildungen
und
Dann ist die angegebene Funktion gleich
wobei man im Definitionsbereich von die herausnehmen muss.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.
Wir setzen
Da ist, ist auch
und damit ist
Wir setzen sodann
sodass die geforderte Gleichheit
gilt. Wegen ist
also ist auch
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass für jedes der Dezimalbruch
Wir müssen die Abschätzungen
nachweisen. Wir schreiben diese Bedingung als
Um dies zu zeigen multiplizieren wir über Kreuz. Für die linke Seite erhalten wir
wobei die letzte Abschätzung auf Korollar 15.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) beruht. Wenn man zu die Zahl hinzuaddiert, so erhält man , was die zweite Abschätzung ergibt.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise die Periodizitätseigenschaft bei der Division von natürlichen Zahlen.
Wenn für ein der Rest ist, so sind auch alle weiteren Reste und damit auch die Ziffern gleich , sodass eine Periodenlänge vorliegt. Nehmen wir also an, dass alle Reste von verschieden sind. Da die Reste
allesamt zwischen und liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass
gilt. Da und für alle allein von abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge
unendlich oft periodisch.