Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 3 3 4 4 3 1 2 6 2 2 6 5 6 3 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Die Vereinigung der Mengen und .
  3. Die Kontraposition zu einer Implikation .
  4. Eine injektive Abbildung
  5. Eine surjektive Abbildung
  6. Eine Verknüpfung auf einer Menge .


Lösung

  1. Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
  2. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  3. Zur Implikation heißt die Implikation die Kontraposition.
  4. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  5. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  6. Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Koeffizientenbedingung für die minimale Darstellung eines Betrages mit Eurozahlen.
  2. Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
  3. Das Induktionsprinzip für Aussagen.


Lösung

  1. Eine Darstellung

    ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind.

    a) Die Koeffizienten , die sich auf beziehen, sind .


    b) Die Koeffizienten , die sich auf beziehen, sind .


    c) Falls der Koeffizient, der sich auf (bzw. bzw. ) bezieht, gleich ist, so ist der vorhergehende Koeffizient (der sich also auf bzw. bzw. bezieht)

    gleich .
  2. Wenn eine Menge ist und wenn

    und

    bijektive Abbildungen sind, so ist

  3. Für jede natürliche Zahl sei eine Aussage gegeben. Es gelte
    1. ist wahr.
    2. Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
    Dann gilt für alle .


Aufgabe (2 Punkte)

Führe die zweite binomische Formel für rationale Zahlen auf die zweite binomische Formel für ganze Zahlen zurück.


Lösung

Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als

Unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche erhalten wir


Aufgabe (3 Punkte)

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.


Lösung Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von Cent begleichen?


Lösung

Wir zählen zunächst die Möglichkeiten, mit den -, - und -Centmünzen die folgenden Beträge darzustellen:

Dann betrachten wir in jedem Fall, mit wie vielen -Centmünzen man jeweils noch unterhalb von Cent bleibt, der verbleibende Rest wird mit -Centmünzen aufgefüllt. Hierfür gibt es der Reihe nach

Diese Möglichkeiten für die Zweier muss man mit den obigen Möglichkeiten multiplizieren, das ergibt insgesamt

Möglichkeiten.


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Eine Geldfälscherin stellt - und -Euro-Scheine her.

  1. Zeige, dass es nur endlich viele (volle) Eurobeträge gibt, die sie nicht (exakt) begleichen kann.
  2. Was ist der höchste Betrag, den sie nicht begleichen kann?
  3. Beschreibe (ohne weitere Begründung) die Menge der Eurobeträge, die sie mit ihren Scheinen nicht begleichen kann.


Lösung

  1. Es ist

    und

    diese drei aufeinander folgenden Zahlen kann sie also begleichen. Alle höheren Zahlen kann sie auch begleichen, indem sie zur Darstellung von bzw. einfach eine gewisse Anzahl an -Euroscheinen hinzugibt.

  2. Die ist nicht darstellbar. In einer möglichen Darstellung der mit und kann höchstens eine vorkommen, da schon zu groß ist. Es ist aber

    und da kein Vielfaches von ist kann man diese Zahl auch nicht nur mit darstellen. Alle Zahlen darüber kann sie nach Teil (1) begleichen. Also ist die größte Zahl, die sie nicht begleichen kann.

  3. Nicht begleichbar sind


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen sind bekannt.

  1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
  2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
  3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
  4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
  5. Doro ist ein Wurm.
  6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
  7. Lilly schläft bis 5 Uhr und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

  1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
  2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
  3. Fängt der späte Igel den Wurm?


Lösung

  1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
  2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
  3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

allgemeingültig ist


Lösung

Wir müssen zeigen, dass für jede Wahrheitsbelegung der Variablen der Wahrheitswert der Gesamtaussage gleich ist. Bei ist und damit ist der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr. Sei also im Folgenden . Dann ist . Bei ist der Vordersatz falsch und somit die Gesamtaussage wahr. Sei also . Dann ist der Vordersatz wahr und wir müssen zeigen, dass auch der Nachsatz wahr ist. Es ist dann und , also ist auch in diesem Fall der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f f
f w w
f f f


Lösung

.


Aufgabe (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).


Lösung

Es gibt ein Schwein, das mich anruft, oder es gibt eine Sau, die sich für mich interessiert.


Aufgabe (6 (2+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

  1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
  2. Es sei die Menge der Töpfe und die Menge der Deckel. Es sei ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für und ) besagt, dass auf passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
  3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
  4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?


Lösung

  1. Erste Aussage: Für jeden Topf gibt es einen von diesem jeweiligen Topf abhängigen und zu diesem Topf passenden Deckel. Zweite Aussage: Es gibt einen bestimmten Deckel, der gleichzeitig für überhaupt alle Töpfe gleichermaßen passt.
  2. Die erste Aussage ist

    die zweite Aussage ist

  3. Nein, es kann ja sein, dass es beispielsweise in der Küche für die drei Töpfe jeweils den passenden Deckel gibt, es aber auch noch einen ganz anderen Deckel gibt, der mit keinem Topf was zu tun hat.
  4. Das alltägliche Sprachverständnis versucht, Aussagen sinnvoll zu interpretieren. Da die Aussage, dass es wirklich nur einen Deckel gibt, der gleichzeitig für alle Töpfe passt, offenbar absurd ist, versteht man auch die zweite Formulierung im Sinne der ersten sinnvollen Aussage.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Sei . Dann ist und . Letzteres bedeutet oder . Im ersten Fall ist , im zweiten Fall , in beiden Fällen also .

Wenn umgekehrt gilt, so bedeutet dies oder . Im ersten Fall ist und , im zweiten Fall und . Also ist und und somit ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Lösung

Seien mit

gegeben. Aufgrund der Injektivität von folgt

und aufgrund der Injektivität von folgt

was die Injektivität von bedeutet.


Aufgabe (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung von in sich selbst.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Erstelle eine Wertetabelle für .
  3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
  4. Bestimme für jedes das minimale mit der Eigenschaft, dass

    ist.

  5. Bestimme das minimale mit der Eigenschaft, dass

    für alle ist.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass bijektiv ist. Nach Fakt *****  (3) sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
  4. Die Abbildungsvorschrift bewirkt

    und

    Für ist also und für ist .

  5. Bei sind nach Teil (4) die Zahlen wieder an ihrer Stelle, aber auch sind an ihrer Stelle, da ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Ist injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?


Lösung Abbildung/N und Z/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl einer endlichen Menge.


Lösung

Seien die bijektiven Abbildungen

und

gegeben. Da man bijektive Abbildungen umkehren kann und da die Hintereinanderschaltung von bijektiven Abbildungen nach Fakt *****  (3) wieder bijektiv ist, ist auch

bijektiv. Wir müssen also nur die endlichen Standardmengen untereinander vergleichen. Wir müssen also zeigen, dass wenn eine bijektive Abbildung

vorliegt, dass dann

ist. Wenn

ist, so ist die Menge links leer und somit muss auch die rechte Menge leer sein, also ist dann auch

Seien nun nicht , so dass sie also jeweils einen Vorgänger haben. Es sei der Vorgänger von und der Vorgänger von . Wir setzen

Dann gibt es durch die Herausnahme von bzw. eine bijektive Abbildung

Nach Fakt ***** gibt es eine bijektive Abbildung zwischen und . Somit gibt es dann auch insgesamt eine bijektive Abbildung zwischen und . Mit dieser Überlegung kann man die beiden Zahlen und durch ihre jeweiligen Vorgänger und ersetzen und damit um eins kleiner machen (die Existenz der bijektiven Abbildung bleibt erhalten). Diese Überlegung kann man so lange wiederholen, bis eine der reduzierten Zahlen gleich ist. Dann muss aber nach der Eingangsüberlegung die andere reduzierte Zahl ebenfalls gleich sein. Da die Nachfolgerabbildung injektiv ist, folgt daraus .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für .


Lösung

Beim Induktionsanfang ist , daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der , und daher ist die Summe . Die rechte Seite ist , so dass die Formel für stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für gilt. Dabei ist beliebig. Es ist

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für , also ist die Formel bewiesen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes die Zahl

ein Vielfaches von ist.


Lösung

Für ist

ein Vielfaches von . Sei nun die Aussage für bewiesen und betrachten wir den Ausdruck für . Dieser ist

wobei im letzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde (nämlich die Eigenschaft, dass ein Vielfaches von ist). Daher ist diese Zahl ein Vielfaches von .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise in die Gleichheit

durch Induktion über unter Verwendung der Gleichung , wobei die Nachfolgerabbildung bezeichnet.


Lösung

Wir beweisen die Aussage für ein beliebiges durch Induktion über . Bei steht beidseitig . Sei die Aussage nun für schon bewiesen und betrachten wir . Dann ist